Вход через социальные сети

Термины и понятия. Векторная система обозначений

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Импульс электрического тока

Пусть мы бросили кусок меди с какой-то начальной скоростью. Этот кусок сталкивается с неким...

14 / - Таланов 202 26.02.2018 at 01:12 by piven
Тема форума Блоки с растяжимой нитью

Не могу понять куда двигаться в данной задаче (см, рис,). Суть в том, что нити в задачах обычно...

6 / - AndreyAbramovi4 93 24.02.2018 at 17:42 by AndreyAbramovi4
Тема форума Распределение Максвелла по скоростям

Решаю задачу (см. рис.), которую дал преподаватель в вузе и при её защите, он задал мне вопрос...

6 / - AndreyAbramovi4 119 24.02.2018 at 12:31 by grigoriy
Тема форума Тема для конференции по физике

Добрый вечер! В скором времени в моем ВУЗе намечается конференция по физике, в которой я хотел...

6 / - Igirinsky 102 24.02.2018 at 00:39 by boris122
Тема форума Вернётся ли тело на Землю?
Здраствуйте. Может, мой вопрос покажется наивным, но я столкнулась с этим при расчёте одной задачи...
8 / - GEPIDIUM 241 21.02.2018 at 17:06 by dust1939
scientist Depakote | Discount Tablets In Missouri


Looking for a depakote? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 82 13.02.2018 at 21:46 by hallowedmantisdfy
scientist Artane | Purchase Without A Prescription


Looking for a artane? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 125 13.02.2018 at 18:10 by hallowedmantisdfy
scientist Zyvox | Effect Paypal Saturday Delivery


Looking for a zyvox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 79 13.02.2018 at 15:17 by hallowedmantisdfy
scientist Aldactone | Adelaide Buy


Looking for a aldactone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 91 13.02.2018 at 02:30 by hallowedmantisdfy
scientist Glucotrol | Best Price Coupon


Looking for a glucotrol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 80 12.02.2018 at 21:52 by hallowedmantisdfy
Тема форума Каким образом определяют, что фотон имеет свойство (признак) волны?

Каким образом определяют, что фотон имеет свойство (признак) волны?

На каком принципе...

25 / - sopov.48 1 432 08.02.2018 at 21:49 by boris122
scientist Fosamax | Pharmacy With Saturday Delivery


Looking for a fosamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 89 06.02.2018 at 09:58 by hallowedmantisdfy
scientist Diazepam | Buy Doctor Prescription


Looking for a diazepam? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 74 05.02.2018 at 23:11 by hallowedmantisdfy
scientist Zyban | No Prescription No Script


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 116 05.02.2018 at 20:43 by hallowedmantisdfy
Тема форума GPS и ОТО

Здравствуйте. Хотелось бы обсудить следующее.

Множество раз я читал и слышал о том...

29 / - lermont 3 237 30.01.2018 at 13:48 by boris122
scientist Toprol | Low Cost Tachycardia


Looking for a toprol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 187 22.01.2018 at 20:22 by hallowedmantisdfy
scientist Pyridium | Need Cheapest Fast Delivery


Looking for a pyridium? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 177 22.01.2018 at 00:05 by hallowedmantisdfy
scientist Voltaren | Order-Gel Mastercard Inverness


Looking for a voltaren? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 172 21.01.2018 at 22:08 by hallowedmantisdfy
scientist Diazepam | Buy Cheapest 10Mg Online


Looking for a diazepam? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 225 21.01.2018 at 18:58 by hallowedmantisdfy
scientist Abilify | Purchase Online Without Rx


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 213 21.01.2018 at 04:29 by hallowedmantisdfy
scientist Zenegra | Buy 50 Mg Online


Looking for a zenegra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 175 20.01.2018 at 21:38 by hallowedmantisdfy
scientist Clindamycin | Effect-Gel Paypal No Rx


Looking for a clindamycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 196 20.01.2018 at 11:24 by hallowedmantisdfy
scientist Inderal | Buy Pros Cons


Looking for a inderal? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 233 20.01.2018 at 09:47 by hallowedmantisdfy
scientist Naltrexone | Cost Colorado Springs


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 215 18.01.2018 at 22:29 by hallowedmantisdfy
scientist Tenormin | Fedex Cod 1Yzsl


Looking for a tenormin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 185 18.01.2018 at 14:42 by hallowedmantisdfy
  • 300страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 294страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Импульс электрического тока

Пусть мы бросили кусок меди с какой-то начальной скоростью. Этот кусок сталкивается с неким...

14 / - Таланов 202 26.02.2018 at 01:12 by piven
Блоки с растяжимой нитью

Не могу понять куда двигаться в данной задаче (см, рис,). Суть в том, что нити в задачах обычно...

6 / - AndreyAbramovi4 93 24.02.2018 at 17:42 by AndreyAbramovi4
Распределение Максвелла по скоростям

Решаю задачу (см. рис.), которую дал преподаватель в вузе и при её защите, он задал мне вопрос...

6 / - AndreyAbramovi4 119 24.02.2018 at 12:31 by grigoriy
Тема для конференции по физике

Добрый вечер! В скором времени в моем ВУЗе намечается конференция по физике, в которой я хотел...

6 / - Igirinsky 102 24.02.2018 at 00:39 by boris122
Вернётся ли тело на Землю?
Здраствуйте. Может, мой вопрос покажется наивным, но я столкнулась с этим при расчёте одной задачи...
8 / - GEPIDIUM 241 21.02.2018 at 17:06 by dust1939
Каким образом определяют, что фотон имеет свойство (признак) волны?

Каким образом определяют, что фотон имеет свойство (признак) волны?

На каком принципе...

25 / - sopov.48 1 432 08.02.2018 at 21:49 by boris122
GPS и ОТО

Здравствуйте. Хотелось бы обсудить следующее.

Множество раз я читал и слышал о том...

29 / - lermont 3 237 30.01.2018 at 13:48 by boris122
Какие есть этому объяснения?

Берём данные здесь:...

12 / - sopov.48 2 434 08.01.2018 at 17:12 by zykov
Мнения о теории Сергея Сипарова

Здравствуйте, уважаемые форумчане! Давно хотел поинтересоваться Вашими мнениями о теории...

14 / - Солярис 5 071 29.12.2017 at 13:07 by Таланов
Рождение электрон-позитронной пары в кулоновском поле ядра

Допустим ядро двигается с ускорением навстречу фотону. Оказавшись в...

- arman.armenpress 308 27.12.2017 at 16:21 by arman.armenpress
Ответы на два этих вопроса дадут основание для сомнений

Полагаю, что КОНКРЕТНЫЕ ответы на два этих вопроса дадут основание для определённых сомнений....

21 / - sopov.48 4 448 22.12.2017 at 14:08 by sopov.48
Помогите с решением задачи , прошу

В однородном магнитном поле с индукцией 2Тл вертикально вверх движется горизонтальный прямой...

- Kirill.mr76 360 20.12.2017 at 22:05 by Kirill.mr76
Ответ: Баланс мощностей

помогите рассчитать здесь баланс мощностей

- tatyana.akhnetz... 341 19.12.2017 at 20:27 by tatyana.akhnetz...
Помогите дать ответ, какие это атомы и что происходит на картинках?

Есть картинки, зарисовки, на которых происходит какой то процесс. В зарисовках есть непонятные...

17 / - starkindustry 1 791 19.12.2017 at 11:09 by blandux
Невесомость внутри сферы

Добрый день.

Возник такой вопрос. Если внутри полой сферы в любой точке гравитация на...

2 / - onlyfoistock 673 18.12.2017 at 10:59 by dust1939
Нарушение закона сохранения энергии №2

Всем доброго времени суток!

Вот есть такая замечательная картинка (иллюстрация), которая...

48 / - lermont 3 958 02.12.2017 at 06:14 by zykov
Нарушение закона сохранения энергии

Всем доброго времени суток! Такой вот вопрос.

1. Берём цилиндр, наливаем в него...

24 / - lermont 3 135 28.11.2017 at 20:57 by blandux
Почему нет животных-гигантов? Провести параллели с конструкциями

Добрый вечер, господа. Преподаватель по металлическим конструкциям задал вопрос: «Мы можем...

8 / - golubovvlad 1 376 24.11.2017 at 21:56 by blandux
перемещение за счет гравитационных волн

Недавно узнал о существовании неких гравитационных волн, которые регулярно незначительно...

31 / - Михаль 3 254 14.11.2017 at 15:59 by zykov
Многомировая интерпретация = копенгагенская?

В каждой отдельной вселенной коллапс волновой функции всё равно ПРОИСХОДИТ! Ведь коты там не...

12 / - Пафнутий 2 066 12.11.2017 at 13:40 by zykov
Колмогоровская сложность ДНК

Из теорем Звонкина-Левина и Брудно мы имеем, что колмогоровская сложность объекта равна энтропии...

25 / - Пафнутий 2 161 10.11.2017 at 22:16 by zykov
Задача на тему угловой скорости и углового ускорения.

Здравствуйте, друзья. 

Такая ситуация, записалась на курс по механике,...

12 / - sofja.o 2 885 01.10.2017 at 09:52 by zykov
Лифт Максвелла

Здравствуйте.

Прошу помочь разобраться в следующем мысленном эксперименте:
...

33 / - smittvolodya 5 930 25.09.2017 at 23:59 by zykov
Определение натяжения каната и троса

Что-то я неслишком понимаю. Физика явно не моё (или, может, я просто не хочу думать головой). Но...

2 / - miachael.j 1 009 19.09.2017 at 15:27 by grigoriy
сила притяжения
Bo сколько раз сила притяжения Земли к солнцу больше силы притяжения Меркурия к Солнцу? Macca...
16 / - Arinok 12 773 07.09.2017 at 08:58 by dust1939
  • 294страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:34
adminus
0 up down

Термины и понятия. Векторная система обозначений

ГЛАВА 2


ВЕКТОРЫ

2.1. Термины и понятия. Векторная система обозначений

Терминология является существенной составной частью всякой научной теории. Трудно выразить сложные и абстрактные понятия на языке, не имеющем слов, соответствующих этим понятиям. Поэтому для выражения новых научных понятий создаются и вводятся в язык науки новые термины; многие из них образуются от корней слов классического греческого или латинского языка. Новый термин может приобрести «права гражданства» сразу во многих современных языках, если он удовлетворяет потребностям научного общения. Таким образом, русскому слову вектор соответствует английское vector, французское vecteur и немецкое Vektor. Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление. Этот смысл слова «вектор» представляет собой обобщение его прежнего, ныне устаревшего значения в астрономии, где вектором назывался воображаемый прямолинейный отрезок, соединяющий планету, обращающуюся вокруг центра или фокуса эллипса, с этим центром или фокусом.

Система обозначений входит составной частью в математический язык и поэтому является важной принадлежностью математики. Векторная система обозначений имеет два существенных преимущества.

1. Формулировки физических законов в векторной форме не зависят от выбора осей координат. Векторная система обозначений, представляет собой такой язык, в котором формулировки имеют физическое содержание даже без введения системы координат.

2. Векторная система обозначений является компактной. Мно
гие физические законы выражаются через векторные величины в простой и обозримой форме, которая не сохраняется при выражении их через проекции этих величин в какой-либо системе координат.

Мы будем выражать законы физики в векторной форме, где это возможно, хотя при решении задач мы чаще всего предпочитаем оперировать с определенной системой координат. Некоторые более сложные законы, которые нельзя выразить в векторной форме, могут быть сформулированы в виде тензорных соотношений. Тензор представляет собой ' обобщение вектора, включающее вектор как частный случай. Векторный анализ в его современном виде является главным образом результатом относящихся к концу девятнадцатого столетия работ Джошуа Вилларда Гиббса и Оливера Хевисайда.

Единичным вектором называется вектор, абсолютная величина которого равна единице *). Единичный вектор в направлении A


Рис. 2.1. а) Вектор r выражает положение точки Р относительно другой точки О как начала отсчета. б) Вектор -r равен по величине, но противоположен по направлению вектору r. в) Вектор 0,6 r имеет то же направление, что и вектор r, а его абсолютная величина равна 0,6 r. г) Вектор r—это единичный вектор в направлении r. Заметьте, что r = rr.

пишется со значком ^ : Â читается, как «единичный вектор направления A» или «A с шапочкой». Эти правила обозначения можно кратко выразить следующим тождеством:

A≡AÂ (1)

Применимость векторов для удобства выражения физических соотношений в значительной степени основывается на геометрии Евклида. При выражении физических законов в векторной форме обычно предполагают, что выполняются все положения евклидовой геометрии. Если же геометрия пространства не является евклидовой, то операция сложения двух векторов может оказаться непростой и неоднозначной. Для пространства, обладающего кривизной, существует более общий математический язык — это метрическая дифференциальная геометрия, язык общей теории относительности, т. е. той области физики, в которой евклидову геометрию уже нельзя считать достаточно точной.

Мы говорили, что вектор — это количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление. Это свойство совершенно не связано с какой-либо конкретной системой координат *). Однако мы увидим, что не все величины, имеющие числовое значение и направление, обязательно являются векторами.

По определению скаляром называется такая величина, которая не имеет направления и имеет числовое значение, не зависящее от системы координат. Например, абсолютная величина вектора представляет собой скаляр. Координата х неподвижной точки — не скаляр, потому что величина координаты х зависит от направления, выбранного для оси х. Температура Т — это скаляр, скорость v — это вектор.

Равенство векторов. По определению два вектора А и В равны, если они имеют одинаковую абсолютную величину и одинаковое направление. Не обязательно, чтобы начальная точка вектора была закреплена, хотя вектором может быть обозначена величина, относящаяся и к определенной точке пространства.


Рис. 2.2. а) Вектор А. б) Вектор В. в) Векторная сумма А+В. г) Векторная сумма В+А равна А+В

Можно сравнивать два вектора, даже если они выражают физические величины, определенные в разных точках пространства и в разные моменты времени. Если бы мы не могли удостовериться на основании опыта, что можно считать пространство неискривленным (за исключением, может быть, тех случаев, когда речь идет об огромных космических расстояниях), то результат сравнения двух векторов, имеющих различные начальные точки, возможно, оказался бы неоднозначным (см. «Математическое дополнение 1» в конце этой главы).

Сложение векторов. Сумма двух векторов А и В определяется согласно геометрическому построению, показанному на рис. 2.2. Это построение часто называется законом сложения векторов по правилу параллелограмма. Для определения суммы А+ В вектор В переносится параллельно самому себе таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой вектора А. Вектор, проведенный от начальной точки А к конечной точке вектора В,— это сумма векторов А+В. Из рис. 2.2, в и г следует, что А+В= В+А, т. е. что сложение векторов коммутативно.

Вычитание векторов определяется, как показано на рис. 2.3 и 2.4.

Сложение векторов удовлетворяет соотношению А+(В+С)=(А+В)+С, так что можно сказать, что сложение векторов ассоциативно, т. е. для него выполняется сочетательный закон. Сумма конечного числа векторов не зависит от порядка, в котором они складываются. Если А-В=С, то, прибавляя к обеим частям равенства по В, мы получаем А=В+С Во всех случаях можно оперировать с суммами и разностями векторов так, как если бы это были числа. Если k — скаляр, то

k(A+B)=kA+kB, (2)

так что можно сказать, что умножение вектора на скаляр дистрибутивно, т. е. для него выполняется распределительный закон.


Рис. 2.3. Векторы В и -В.
Рис. 2.4. Образование разности А-В; вычитание векторов.
Рис. 2.5. Сумма трех векторов: А+В+С. Проверьте самостоятельно, что эта сумма равна В+А+С.

Когда физическая величина может быть выражена вектором? Мы ввели векторную систему обозначений для описания перемещений в пространстве, не обладающем кривизной. Помимо перемещений, имеются другие физические величины, подчиняющиеся тем же законам преобразования и обладающие теми же свойствами инвариантности, что и перемещения. Такие величины также можно выразить векторами. Чтобы величина выражалась вектором, она должна удовлетворять следующим двум условиям:

1. Для нее должен соблюдаться закон сложения по правилу
параллелограмма.

2. Ее абсолютная величина и направление не должны зависеть
от выбора системы координат.

Дифференцирование векторов. Скорость материальной точки v — вектор, ускорение а также является вектором. Скорость — это характеристика изменения положения материальной точки со временем. Положение материальной точки в любой момент времени t можно определить с помощью вектора r(t), который соединяет с данной точкой определенную неподвижную точку О, называемую началом отсчета. С течением времени материальная точка движется, а вектор, характеризующий ее положение, изменяется по направ.лению и по величине (рис. 2.6). Разность между r(t2) и r(t1) — это разность двух векторов:

Δr=r(t2)-r(t1), (3)


и она сама является вектором. Если вектор г можно рассматривать как функцию (векторную функцию) одной скалярной переменной t, то значение Δr будет полностью определено, когда известны оба значения t1 и t2. Так, на рис. 2.7,а Δr —это хорда P1P2. Отношение

Δr
Δt

является вектором, коллинеарным с хордой P1P2 (рис. 2.7,б), но увеличенным по сравнению с нею в 1/Δt раз. Если Δt стремится к нулю, то Р2 приближается к Р1, а хордВектор


Рис. 2.6. а) Положение Р1 материальной точки относительно фиксированного начала отсчета задается в момент времени t1 вектором г(t1). б) К моменту t, материальная точка достигла положения Р2. в) Вектор Δr представляет собой разность между r(t2) и r (t1).

а Р1Р2 в пределе стремится к касательной в точке Р1. Тогда вектор Δr/Δt стремится к dr/dt, вектору, направленному по касательной к кривой в точке Р1 в ту же сторону, в которую увеличивается вдоль кривой переменная t.


(4)

Рис. 2.7. а) Δr — это хорда, соединяющая точки Р1 и Р2 траектории, описываемой данной материальной точкой, б) Если t2-t1 = Δt→0, то вектор Δr/Δt, коллинеарный с хордой Р1Р2, стремится к вектору скорости dr/dt, коллинеарному с касательной к траектории в точке P1,.

называется производной по времени от r. По определению скорость материальной точки равна v(t)≡dr/dt (5)

Абсолютная величина υ=|v| вектора скорости называется числовым значением скорости материальной точки. Числовое значение скорости — скаляр. Ускорение тоже представляет собой вектор; оно связано со скоростью v точно так же, как v связана с г. Отсюда следует такое определение ускорения:

a≡dv/dt≡d2r/dt2 Diablo

Рассмотрим движущуюся материальную точку. Положение ее в любой момент времени t задается радиусом-вектором r(t). Мы можем написать:

r(t) = r(t)r(t),(7)

где скаляр r(t) — это длина радиуса-вектора, a r(t) — единичный вектор направления r. Согласно определению производной вектора r(t) она равна

Преобразуем числитель дроби и получим следующее выражение:



В пределе при Δt→0 пренебрегаем последним слагаемым в правой части и получаем



Это пример применения общего правила дифференцирования произведения скаляра a(t) на вектор b(t):



Второе слагаемое в правой части уравнения (10) выражает изменение направления вектора r; первое слагаемое обусловлено изменением длины r .зтого вектора.

Пример. Круговое движение. Этот пример исключительно важен! Наша цель — получить точные выражения для векторов скорости и ускорения материальной точки, движущейся с постоянной по абсолютной величине скоростью по круговой траектории постоянного радиуса г. Круговую траекторию можно описать таким уравнением:



в котором абсолютная величина r постоянна, а единичный вектор вращается относительно начала отсчета с постоянной скоростью. Выразим такой единичный вектор следующим образом:



где и — взаимно перпендикулярные постоянные единичные векторы, а ω — постоянная величина, называемая угловой частотой или угловой скоростью движения. Эта величина измеряется в радианах на единицу времени. Вектор ^r вращается против часовой стрелки, если величина со положительна, и за время t поворачивается на угол ωt радиан относительно направления х. Напомним, что в 360° содержится 2π радиан. Эти утверждения относительно единичного

вектора r непосредственно следуют из определений тригонометрических функций косинуса и синуса. Заметим, что при t=0 единичный вектор г направлен вдоль оси х. В качестве иллюстрации возьмем такое значение времени, для которого радиан, т. е. угол равен 45°. Мы знаем, что , так что в этом случае т. е. приединичный вектор г направлен относительно оси х под углом 45°, отсчитанным против часовой стрелки. В более позд­ний момент времени, для которого уголрадиан (т. е. 90°), мы получим, так что (15) Теперь единичный вектор направлен по оси у. Для того чтобы получить значение вектора скорости материаль­ной точки, движущейся по окружности, мы используем формулу (10), но при этом, так как радиус г окружности постоянен. Тогда из (12) и (13) следует: Определим производные от синуса и косинуса. Вспомним из курса математического анализа, что Если эти формулы не были известны вам ранее, попробуйте их вы­вести *).
С помощью формул (17) и (18) можно переписать равенство (16) в следующем виде: Абсолютная величина скорости равна ωr. В этом можно убедиться, вычислив υ2 (используя определение скалярного произведения векторов, данное ниже в уравнении (28), а также равенство х-у=0): υ2=v•v=ω2r2(-sin ωt•x+cos ωt•y)•(-sin ωt•x+cos ωt•y)=ω2r2(sin2 ωt +cos2 ωt)=ω2r2 (20) З υ=ωr (21) десь мы использовали тождество sin2a+cos2a≡1. Таким образом, получен важный результат, согласно которому числовое значение скорости материальной точки при равномерном круговом движении равно Ускорение при круговом движении можно найти, продифференцировав по t правую часть формулы (19): a=ω2r(cos ωt•x+sin ωt•y)=-ω2r (23) Рис. 2.8. Материальная точка движется по окружности единичного радиуса с угловой скоростью со. Скорость материальной точки определяется по формуле (19), а ее ускорение — по формуле (22). Сравнивая этот результат с (12) и (13), мы видим, что правая часть равенства (22) равна — ω2r Следовательно, числовое значение ускорения при равномерном круговом движении равно a=ω2r, (24) причем ускорение направлено, как —г, т. е. к центру круга. Подставив из (21) υ=ωr, перепишем (24) в таком виде: Это ускорение называется центростремительным ускорением, известным вам из курса физики средней школы. Угловая частота со связана простой зависимостью с обычной частотой f. Согласно уравнению (13) вектор ^r описывает за единицу времени угол в ω радиан, т. е. числовое значение со равняется выраженной в радианах величине угла, описанного за единицу времени. Но обычная частота f по определению равна числу оборотов, совершенных за единицу времени. Поскольку при одном обороте
описывается полный угол, равный 2π радиан, получаем 2πf=ω (27) Период кругового движения Т определяется как время, в тече­ние которого совершается один оборот. Из уравнения (13) видно, что один оборот совершается за такое время Т, чтоили Для иллюстрации приведем числовой пример, в котором частота f равна 60 об/сек. Тогда период равен а угловая частота ω=2πf≈378 рад/сек Если радиус окружности равен 10 см, то линейная скорость движе­ния равна υ=ωr≈387•10≈3,8•103 (см/сек) Ускорение в любой точке этой траектории равно a=ω2r≈(3,8•102)2•10≈1,45•106 (см/сек2) В гл. 3 рассматривается числовой пример, который показывает, что точка, находящаяся на поверхности Земли на ее экваторе, имеет ускорение около 3,4 см/сек2 вследствие вращения Земли вокруг оси. Из определений r, v и а следует, что все эти величины являются векторами. Сила F, напряженность электрического поля Е и индук­ция магнитного поля В также являются векторами; чтобы доказать это, мы должны на основании опытных данных убедиться, что они обладают свойствами, необходимыми для векторов. Опыт показывает, что сила F = Ma, где масса М — постоянный скаляр *). Поскольку а — это вектор, сила тоже должна быть век­тором. Напряженность электрического поля определяется как сила, которая действует на неподвижную частицу с единичным зарядом, находящуюся в электрическом поле; таким образом, и напряжен­ность электрического поля Е должна быть вектором. Опытным путем установлено, что магнитные поля складываются по закону сложения векторов: совместное действие полей с магнитной индукцией B1 и В2 *) Если масса М не постоянна, то
в точности равносильно действию одного магнитного поля с индукцией B12, т.е. индукция магнитного поля В также является вектором.

Не все величины, которые имеют числовое значение и направление, обязательно являются векторами. Например, повороту твердого тела вокруг определенной оси, неподвижной в пространстве,


Рис. 2.9. а) Исходное положение книги, б) Положение книги после поворота на π/2 радиан вокруг оси 1. в) Положение книги после последующего поворота на я/2 радиан вокруг оси 2. 1 — передняя часть обложки; 2 — задняя часть обложки.

можно приписать как числовое значение (величина угла поворота), так и направление (направление оси). Однако два таких поворота не складываются согласно закону сложения векторов, если только углы поворота не являются бесконечно малыми. Это легко видеть, когда две оси перпендикулярны друг к другу, а оба угла поворота


Рис. 2.10. а) Исходное положение книги/ б) Положение книги после поворота на π/2 радиан вокруг оси 2. в) Положение книги после последующего поворота на π/2 радиан вокруг оси 1.
отличается от ориентации на рис. 2.9, в. Очевидно, что для этих поворотов не выполняется закон коммутативности сложения. Повороты на конечный угол нельзя выразить векторами, хотя их можно охарактеризовать числовым значением и направлением.




*) Установим следующие правила применения векторной системы обозначений. Векторная величина обозначается буквой со стрелкой над ней . В печати обозначения векторов обычно набираются жирным шрифтом. Абсолютная величина вектора печатается курсивом: А — это абсолютная величина вектора . Вместо А пишут также ||.

*) Мы предполагаем, что всегда можно точно указать направление вектора. В некоторых случаях мы можем определить это направление относительно лаборатории, в других — относительно неподвижных звезд.

*) Производная от sin t no t определяется обычным способом, т. е. где мы используем известное тригонометрическое тождество: Но из геометрических определений косинуса и синуса очевидно, что Подставляя эти результаты в формулу, полученную выше, имеем Аналогичным способом читатель может получить формулу (18) для d/dt cos t.