Вход через социальные сети

Системы линейных уравнений общего вида

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Разложение функций в степенные ряды

Разложить функции по степеням (х-х0) и определить область сходимости полученных рядов:

...

4 / - karinochka1996love 3 411 28.04.2015 at 07:05 by Ian
Тема форума ряд Маклорена

помогите!

разложить функцию f(x)=cos^2x в ряд маклорена

2 / - karinochka1996love 2 944 27.04.2015 at 22:23 by karinochka1996love
Тема форума Ряд Тейлора

Разложить функцию f(x)=x^5-4x^4+5x+6 в ряд Тейлора по степеням (x+2)

1 / - karinochka1996love 2 153 27.04.2015 at 21:18 by zam2
Тема форума простая задача по геометрии

Здравствуйте.

abcd - равнобедренная трапеция, большее основание ad равно 10 см,...

5 / - tata00tata 3 477 23.04.2015 at 12:46 by tata00tata
Тема форума GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
22 / - Maximus_G 36 598 10.04.2015 at 14:15 by skaneby
Тема форума GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
42 / - Maximus_G 52 716 10.04.2015 at 14:06 by skaneby
Тема форума задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

13 / - peter_PP 8 260 06.04.2015 at 15:38 by Самоед
Тема форума признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 3 523 27.03.2015 at 18:38 by stensen
Тема форума Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 1 496 26.03.2015 at 21:11 by Тракторида Сталин
Тема форума Логарифмическое неравенство

Скажите пожалуйста, как наиболее рационально решить такое неравенство? Крутить логарифмы, чтобы...

1 / - GrandCube 2 187 23.03.2015 at 22:02 by Ian
Тема форума Докажите, что дробь...

Докажите, что дробь...

1 / - Mathematika 2 202 20.03.2015 at 12:49 by zam2
Тема форума Дроби

Докажите, что если дробь...

3 / - Mathematika 3 101 19.03.2015 at 11:05 by Mathematika
Тема форума Сфера, касающаяся рёбер пирамиды

Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания равной 2....

2 / - chajkaspb 3 003 04.03.2015 at 23:56 by chajkaspb
Тема форума Система с параметром

Помогите решить систему с параметром пожалуйста. Думал как квадратное относительно икса второе...

2 / - GrandCube 3 092 14.02.2015 at 19:20 by Shadows
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
2 / - a_gaini_r 2 798 09.02.2015 at 02:24 by nikifaldonus
Тема форума помогите решить

Точки K, L, M и N расположены соответственно...

5 / - dan.khv 4 308 09.02.2015 at 02:19 by nikifaldonus
Тема форума угол между векторами

здравствуйте! прогите, пожалуйтса, в решении заданий:

1 / - oksy1996 2 236 08.02.2015 at 20:10 by zam2
Тема форума Тригонометрическое уравнение

Подскажите пожалуйста, как такое решить:

...

5 / - GrandCube 4 070 07.02.2015 at 04:11 by peter_PP
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 1 518 05.02.2015 at 09:24 by a_gaini_r
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 1 523 05.02.2015 at 09:24 by a_gaini_r
Тема форума как решить?

На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, равным α, расположена точка K, причем AK=BC. Пусть P...

1 / - dan.khv 2 051 04.02.2015 at 14:01 by omega
Тема форума уравннияия с параметрами.

Всем доброго здравия!

Изучаю ур-ия с параметрами. Истомила меня тяжкая дума.

Вот...

2 / - stensen 2 307 29.01.2015 at 10:44 by Ian
Тема форума биссектрисы

Уважаемые,плз,наведите на мысль как доказать, что если в треугольнике один угол = ...

2 / - stensen 2 213 28.01.2015 at 04:42 by stensen
Тема форума Неравенство (циклическое или нет?)

Доказать, что для действительных чисел ...

8 / - DarkMel 4 753 24.01.2015 at 08:18 by DarkMel
Тема форума Отношение треугольников

Здравствуйте, подскажите где ошибаюсь -> Дан равносторонний треугольник АВС, в нем вписан...

5 / - peter_PP 3 508 22.01.2015 at 14:24 by peter_PP
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Разложение функций в степенные ряды

Разложить функции по степеням (х-х0) и определить область сходимости полученных рядов:

...

4 / - karinochka1996love 3 411 28.04.2015 at 07:05 by Ian
ряд Маклорена

помогите!

разложить функцию f(x)=cos^2x в ряд маклорена

2 / - karinochka1996love 2 944 27.04.2015 at 22:23 by karinochka1996love
Ряд Тейлора

Разложить функцию f(x)=x^5-4x^4+5x+6 в ряд Тейлора по степеням (x+2)

1 / - karinochka1996love 2 153 27.04.2015 at 21:18 by zam2
простая задача по геометрии

Здравствуйте.

abcd - равнобедренная трапеция, большее основание ad равно 10 см,...

5 / - tata00tata 3 477 23.04.2015 at 12:46 by tata00tata
GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
22 / - Maximus_G 36 598 10.04.2015 at 14:15 by skaneby
GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
42 / - Maximus_G 52 716 10.04.2015 at 14:06 by skaneby
задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

13 / - peter_PP 8 260 06.04.2015 at 15:38 by Самоед
признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 3 523 27.03.2015 at 18:38 by stensen
Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 1 496 26.03.2015 at 21:11 by Тракторида Сталин
Логарифмическое неравенство

Скажите пожалуйста, как наиболее рационально решить такое неравенство? Крутить логарифмы, чтобы...

1 / - GrandCube 2 187 23.03.2015 at 22:02 by Ian
Докажите, что дробь...

Докажите, что дробь...

1 / - Mathematika 2 202 20.03.2015 at 12:49 by zam2
Дроби

Докажите, что если дробь...

3 / - Mathematika 3 101 19.03.2015 at 11:05 by Mathematika
Сфера, касающаяся рёбер пирамиды

Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания равной 2....

2 / - chajkaspb 3 003 04.03.2015 at 23:56 by chajkaspb
Система с параметром

Помогите решить систему с параметром пожалуйста. Думал как квадратное относительно икса второе...

2 / - GrandCube 3 092 14.02.2015 at 19:20 by Shadows
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
2 / - a_gaini_r 2 798 09.02.2015 at 02:24 by nikifaldonus
помогите решить

Точки K, L, M и N расположены соответственно...

5 / - dan.khv 4 308 09.02.2015 at 02:19 by nikifaldonus
угол между векторами

здравствуйте! прогите, пожалуйтса, в решении заданий:

1 / - oksy1996 2 236 08.02.2015 at 20:10 by zam2
Тригонометрическое уравнение

Подскажите пожалуйста, как такое решить:

...

5 / - GrandCube 4 070 07.02.2015 at 04:11 by peter_PP
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 1 518 05.02.2015 at 09:24 by a_gaini_r
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 1 523 05.02.2015 at 09:24 by a_gaini_r
как решить?

На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, равным α, расположена точка K, причем AK=BC. Пусть P...

1 / - dan.khv 2 051 04.02.2015 at 14:01 by omega
уравннияия с параметрами.

Всем доброго здравия!

Изучаю ур-ия с параметрами. Истомила меня тяжкая дума.

Вот...

2 / - stensen 2 307 29.01.2015 at 10:44 by Ian
биссектрисы

Уважаемые,плз,наведите на мысль как доказать, что если в треугольнике один угол = ...

2 / - stensen 2 213 28.01.2015 at 04:42 by stensen
Неравенство (циклическое или нет?)

Доказать, что для действительных чисел ...

8 / - DarkMel 4 753 24.01.2015 at 08:18 by DarkMel
Отношение треугольников

Здравствуйте, подскажите где ошибаюсь -> Дан равносторонний треугольник АВС, в нем вписан...

5 / - peter_PP 3 508 22.01.2015 at 14:24 by peter_PP
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Системы линейных уравнений общего вида

5.5. Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и ` A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;   б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., x n, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

                      a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1, r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

                      a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2, r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

                       ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...

                      a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r, r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Ее можно решить относительно x 1, x 2,..., x r, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x 1, x 2,..., x r. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все b i = 0, т. е. она имеет вид:

                                        a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0,

                                        a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0,                                     (5.5)

                                         ...     ...     ...     ...     ...     ...

                                        a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x 1 = x 2 =... = x n = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x 1, x 2,..., x n ) T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A ), если найдется такое число l , что будет выполняться равенство

AX = l X.

Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A ), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = l X в виде (A - l E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

                                        (a 11 - l )x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

                                        a 21 x 1 + (a 22 - l )x 2 +... + a 2n x n = 0,

                                          ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...                                               (5.6)

                                        a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn - l )x n = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l , которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - l E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.

Пример 2.16 . Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

                                                     x 1 +  x 2 - 2x 3 -   x 4 +   x 5 =1,

                                                 3x 1 -   x 2 +  x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4,

                                                     x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 +   x 5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и ` A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

Очевидно, что r(A) = r( ` A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

                                                    x 1 + x 2 -  2x 3 -    x 4 + x 5 = 1,

                                                       - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4         = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x 1 и x 2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

                                                    x 1 + x 2 =   2x 3 +   x 4 - x 5 + 1,

                                                       - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

откуда x 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x 3, x 4, x 5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

                                                    2x 1 -   x 2 +   x 3 +     x 4 = 1,

                                                      x 1 + 2x 2 -   x 3 +   4x 4 = 2,

                                                    x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица ` . Имеем ` А ~   следовательно, исходная система равносильна такой:

                                                 x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

                                                         5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

                                                                                   0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x 2 = 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 = 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

                                                    a 1 = (1, 1, 4, 2),

                                                    a 2 = (1, -1, -2, 4),

                                                    a 3 = (0, 2, 6, -2),

                                                    a 4 = (-3, -1, 3, 4),

                                                    a 5 = (-1, 0, - 4, -7).

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд.
I ), что выполняется векторное равенство:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

                                          x 1 +  x 2 -          3x 4 -   x 5 = 0,

                                          x 1 -   x 2 + 2x 3 -   x 4          = 0,

                                        4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0,

                                        2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

 .

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x 1, x 2, x 4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

                                                    x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5,

                                                        -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5,

                                                                - 3x 4 = - x 5.

Имеем: x 4 = 1/3 x 5, x 2 = 5/6x 5 +x 3, x 1 = 7/6 x 5 -x 3.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x 3 и x 5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x 5 = 6, x 3 = 1. Тогда x 4 =2, x 2 = 6, x 1 =6 и мы получим соотношение

6 a 1 + 6 a 2 + a 3 + 2 a 4 + 6 a 5 = 0,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример 2.19 . Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение. Вычислим определитель матрицы A

.

Итак, = ( l - 2) 2 × ( l +2) 2. Корни характеристического уравнения Shok - это числа l 1 = 2 и l 2 = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения l в систему (5.6): при l = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

                   x 1 - x 2                        = 0,                       x 1 - x 2                         = 0,

                   x 1 - x 2                        = 0,            Þ            3x 2 -7x 3 - 3x 4 = 0,

                 3x 1 -       7x 3 - 3x 4 = 0,                                    5x 3 +  x 4 = 0.

                 4x 1 - x 2 + 3x 3 -  x 4 = 0,

Следовательно, собственному значению l = 2 отвечают собственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a - любое отличное от нуля действительное число. При l = -2 имеем :

,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

                                                                       x 1 +3x 2             = 0,

                                                                              x 2             = 0,

                                                                                  x 3 +x 4 = 0.

Поэтому собственному значению l = -2 отвечают собственные векторы вида b (0, 0,-1, 1), где b - любое отличное от нуля действительное число.