Вход через социальные сети

Системы линейных уравнений общего вида

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума сложное уравнение
4x^4-4x^3-x/2=66 блин, свободный чле не ищется, не делится на x^4 и на x^2 вот уж воистину может...
10 / - ETNIES 6 342 21.11.2007 at 23:18 by andrej163
Тема форума Прогрессии
...
3 / - Tarsik 3 252 17.11.2007 at 13:44 by Natrix
Тема форума Система c 3-мя неизвестными.
Здравствуйте, математики.
Кто-нибудь знает, как решить эту систему или хотя бы найти какие-...
12 / - ARBUZ 6 341 15.11.2007 at 00:16 by ARBUZ
Тема форума Разложение
Доброго времени суток. Помогите пожалуйста решить задачу или подскажите куда дальше двигаться:...
1 / - Basssek 2 348 14.11.2007 at 21:43 by Developer
Тема форума Геометрическая прогрессия
Помогите решить задачу!
Три числа являются геометрической прогрессией. Их сумма равна 35 a...
6 / - Гость (не проверено) 10 493 14.11.2007 at 05:15 by Tarsik
Тема форума Уравнение c параметром
Пожалуйста, помоите решить неравенство c парметром...


1. Найти все значения a,...
3 / - aa-surkov 2 845 13.11.2007 at 18:57 by aa-surkov
Тема форума Уравнение c логарифмами ип параметрами
Совершенно не умею решать задания c параметрами, стандартного подхода нет, никогда не знаю, c чего...
3 / - Эсмеральда 2 833 13.11.2007 at 14:21 by bot
Тема форума Несколько уравнений
Помогите пожалуйста решить)
...
8 / - Arwen 5 086 13.11.2007 at 03:36 by andrej163
Тема форума Подскажите, пожалуйста, как решать
Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как решать следующую задачу:
Какое наибольшее значение...
2 / - chems 2 819 11.11.2007 at 17:11 by chems
Тема форума Помогите решить неравенство
Докажите, что 2a+1/a^2>3 при 0
2 / - Nina 2 383 10.11.2007 at 03:50 by Nina
Тема форума Помогите c задачей
Найти четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше числа, записанного теми же цифрами, но в...
2 / - Nina 5 364 10.11.2007 at 03:44 by Nina
Тема форума задача по 8 классу
Какое из двух чисел имеет больше делителей, включая как простые, так и составные:2007 в степени...
3 / - Igor 3 190 10.11.2007 at 00:50 by Natrix
Тема форума подскажите, помогите пожалуйста c задачкой
Если не трудно помогите немного)

Два друга, Ваня и Петя, ходили за грибами....
1 / - ячсми 2 708 09.11.2007 at 03:33 by AV_77
Тема форума Задачи по планиметрии
помоги плз кто какую сможет(кроме 1-ой)
...
1 / - dimaan 1 968 09.11.2007 at 02:36 by andrej163
Тема форума радиус сферы
Дана усечённая пирамида,( большее основание которой треугольник ABC, у которого
AB=AC=b и...
14 / - koskaolmi 9 570 08.11.2007 at 16:34 by bot
Тема форума Решение логарифмических и показательных неравенств
Добрый день!
Я бы хотел попросить совета по методам решения логарифмических и показательных...
3 / - JoeBlack 3 328 07.11.2007 at 14:10 by JoeBlack
Тема форума задача на движение
задача: каждый день за учеником заезжает машина, однажды занятия закончились на 1 час раньше и...
7 / - nmn 4 689 05.11.2007 at 20:48 by nmn
Тема форума Построить 2 отрезка по их среднему арифметическому и среднему геометрическому
Есть такая вот задача: Построить 2 отрезка по их среднему арифметическому и среднему...
4 / - Antacid 3 890 05.11.2007 at 18:04 by Antacid
Тема форума Вроде бы простая задача про треугольники, но как подступиться?
Подскажите как решить, плиз
"Равные прямоугольные треугольники ACB и AMB находятся по 1...
1 / - Antacid 2 179 05.11.2007 at 02:25 by Natrix
Тема форума неравенство c параметром
Здравствуйте!
Подскажите как определить все значения a, при которых неравенство выполняется...
1 / - Бубу 2 100 02.11.2007 at 19:09 by bot
Тема форума Уравнение!
Такс, вроде бы всёё не трудно, но ....И так, имеем вот такое уравнение
...
2 / - andrej163 2 612 02.11.2007 at 02:12 by andrej163
Тема форума Геометрия
Ну, c геометрией я на Вы (честно говоря не виновата, учитель такой был), a сейчас очень даже...
5 / - Tiala 3 432 31.10.2007 at 11:37 by bot
Тема форума ДРОБИ
Последовательно найдите значение каждой из разностей:
(1/2)-(1/3); (1/3)-(1/4); (1/4)-(1/5...
3 / - DmS 3 629 26.10.2007 at 16:54 by DmS
Тема форума Почти решенная задача...помогите до конца
вот такая задача
Найти все значения х для которых
(2-x)a^2 + (x^2 -2x+3)a-3x>> 0
...
4 / - ETNIES 4 319 26.10.2007 at 15:48 by bot
Тема форума Логарифмы
Подскажите пожалуйста, как доказать равенство
...
1 / - ARBUZ 2 313 23.10.2007 at 18:23 by bot
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Задачи по стереометрии - оплачиваемые
...
- Руслан111 1 886 Руслан111
Range of f(x)
If ...
- jacks 1 740 jacks
простенький интеграл
Добрый вечер!
как взять его? до меня не доходит
...
- laplas 1 381 laplas
Кодирование по методу Шеннона-Фано
Пусть задан алфавит c частотами
...
- eugrita 1 806 eugrita
Вычислить.
...
- Brest-rap2011 1 340 Brest-rap2011
нужно срочно сделать помогите контрольная!
Решить уравнения и неравенства
1) 2sinx-cos^2 x*sinx=0
2)1/cos^2 x-4=0
3)√...
- Gangster06 1 388 Gangster06
Решить задачку
сечение цилиндра паралельно его оси отсекает от окружности дугу в 120 градусов. Радиус цилиндра 6...
- mmmarsel1991 1 798 mmmarsel1991
Помогите решить примеры)
...
- Милаха 1 877 Милаха
Задачка на Гомотетию
Здрасте!...
- Antacid 1 643 Antacid
Тригонометрияhttp
1) 2 2
2cos x-7sin y
tgx=-...
- Настёна23 1 456 Настёна23
Квадратное уравнение
He решая квадратного уравнения, определите, какое из них имеет корни (-3) и 2 ?
a) x²+x-...
- tsengma 1 477 tsengma
Многочлены
[attachmentid=10241]помогите пожлуст 2 и 4 номер, очень надо но не могу ни чего сделать
- zheka91 1 549 zheka91
метрика в стереометрии
Люди,подскажите пожалуйсто,где мне поискать литературку на тему "метрические задачи на построение...
- karl-skram 1 906 karl-skram
задача по геометрии на тему призма
Здравствуйте, уважаемые форумчане! Помогите мне пожалуйста решить две простых задачи на тему...
- nicrolit 3 813 nicrolit
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Системы линейных уравнений общего вида

5.5. Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и ` A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;   б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., x n, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

                      a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1, r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

                      a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2, r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

                       ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...

                      a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r, r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Ее можно решить относительно x 1, x 2,..., x r, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x 1, x 2,..., x r. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все b i = 0, т. е. она имеет вид:

                                        a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0,

                                        a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0,                                     (5.5)

                                         ...     ...     ...     ...     ...     ...

                                        a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x 1 = x 2 =... = x n = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x 1, x 2,..., x n ) T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A ), если найдется такое число l , что будет выполняться равенство

AX = l X.

Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A ), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = l X в виде (A - l E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

                                        (a 11 - l )x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

                                        a 21 x 1 + (a 22 - l )x 2 +... + a 2n x n = 0,

                                          ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...                                               (5.6)

                                        a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn - l )x n = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l , которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - l E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.

Пример 2.16 . Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

                                                     x 1 +  x 2 - 2x 3 -   x 4 +   x 5 =1,

                                                 3x 1 -   x 2 +  x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4,

                                                     x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 +   x 5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и ` A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

Очевидно, что r(A) = r( ` A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

                                                    x 1 + x 2 -  2x 3 -    x 4 + x 5 = 1,

                                                       - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4         = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x 1 и x 2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

                                                    x 1 + x 2 =   2x 3 +   x 4 - x 5 + 1,

                                                       - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

откуда x 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x 3, x 4, x 5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

                                                    2x 1 -   x 2 +   x 3 +     x 4 = 1,

                                                      x 1 + 2x 2 -   x 3 +   4x 4 = 2,

                                                    x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица ` . Имеем ` А ~   следовательно, исходная система равносильна такой:

                                                 x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

                                                         5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

                                                                                   0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x 2 = 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 = 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

                                                    a 1 = (1, 1, 4, 2),

                                                    a 2 = (1, -1, -2, 4),

                                                    a 3 = (0, 2, 6, -2),

                                                    a 4 = (-3, -1, 3, 4),

                                                    a 5 = (-1, 0, - 4, -7).

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд.
I ), что выполняется векторное равенство:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

                                          x 1 +  x 2 -          3x 4 -   x 5 = 0,

                                          x 1 -   x 2 + 2x 3 -   x 4          = 0,

                                        4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0,

                                        2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

 .

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x 1, x 2, x 4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

                                                    x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5,

                                                        -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5,

                                                                - 3x 4 = - x 5.

Имеем: x 4 = 1/3 x 5, x 2 = 5/6x 5 +x 3, x 1 = 7/6 x 5 -x 3.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x 3 и x 5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x 5 = 6, x 3 = 1. Тогда x 4 =2, x 2 = 6, x 1 =6 и мы получим соотношение

6 a 1 + 6 a 2 + a 3 + 2 a 4 + 6 a 5 = 0,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример 2.19 . Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение. Вычислим определитель матрицы A

.

Итак, = ( l - 2) 2 × ( l +2) 2. Корни характеристического уравнения Shok - это числа l 1 = 2 и l 2 = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения l в систему (5.6): при l = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

                   x 1 - x 2                        = 0,                       x 1 - x 2                         = 0,

                   x 1 - x 2                        = 0,            Þ            3x 2 -7x 3 - 3x 4 = 0,

                 3x 1 -       7x 3 - 3x 4 = 0,                                    5x 3 +  x 4 = 0.

                 4x 1 - x 2 + 3x 3 -  x 4 = 0,

Следовательно, собственному значению l = 2 отвечают собственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a - любое отличное от нуля действительное число. При l = -2 имеем :

,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

                                                                       x 1 +3x 2             = 0,

                                                                              x 2             = 0,

                                                                                  x 3 +x 4 = 0.

Поэтому собственному значению l = -2 отвечают собственные векторы вида b (0, 0,-1, 1), где b - любое отличное от нуля действительное число.