Вход через социальные сети

Системы линейных уравнений общего вида

Тип Название темы Ответов Авторсортировать по убыванию Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Геометрическая прогрессия
Помогите решить задачу!
Три числа являются геометрической прогрессией. Их сумма равна 35 a...
6 / - Гость (не проверено) 10 251 14.11.2007 at 05:15 by Tarsik
Тема форума Помогите решить задачу ( Арифметическая прогрессия / Геометрическа я прогрессия)
Ha арифметическую :

a1 + a2 + a3 = 66
a2 * a3 = 528
S10=?


Ha...
4 / - Гость (не проверено) 6 838 11.10.2006 at 00:25 by Soul
Тема форума Жидкость в полушаре
Значит так....вот думала....думала...не надумала.....Задача: Определить сколько жидкости останется...
4 / - Гость (не проверено) 4 177 09.02.2007 at 21:26 by Наташа
Тема форума прямые на плоскости
Есть 3 прямых, исходящих из начала координат под известными углами А1, А2 и А3. Через каждую из...
1 / - Гость (не проверено) 2 720 27.05.2013 at 09:19 by bot
Тема форума Никак не могу решить тригонометрическое уравнение
Помогите решить элементарное тригонометрическое уравнение
2*sin11x + 3^0.5*sin5x + cos 5x = 0...
7 / - Гость (не проверено) 10 267 19.04.2009 at 12:03 by Hottabych
Тема форума тригонометрия
Помооогите пример решить ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!!
1-синус 2 икс=косинус икс-синус икс
...
4 / - Гость (не проверено) 6 331 16.12.2006 at 06:48 by barmaley
Тема форума Помогите с решением уравнения
...
9 / - Гость (не проверено) 8 441 19.08.2013 at 06:22 by bot
Тема форума ТРигонометрия.уравнения.системы.10класс
одна вторая cos2x + корень из трех делить на два sin2x=1
cos^2x+sin2x-3sin^2x=0
1+cos4x=...
3 / - Гость (не проверено) 5 488 14.01.2007 at 22:00 by leonid
Тема форума Фалесова геометрия o вписанной окружности
Вписать окружность в треугольник в фалесовой геометрии можно, каким образом доказать?
- Гость (не проверено) 2 567 Гость (не проверено)
Тема форума геометрия
Очень прошу, помогите решить задачку. Bce свои знания средней школы перетряхнула, все книги,...
44 / - Гость (не проверено) 22 696 16.01.2007 at 04:03 by Natrix
Тема форума Задача для 3 класса
Заранее прошу извинить, если эта тема идет несколько вразрез c правилами форума, но всё же.
...
9 / - Гость (не проверено) 14 113 17.01.2007 at 03:13 by Bujhm
Тема форума Параллелограмм.
Периметр параллелограмма равен 30см, a его острый угол равен 60 градусов. Диагональ...
3 / - Гость (не проверено) 9 458 21.10.2006 at 19:35 by Roto
Тема форума Помогите решить уравнение
Помогите решить уравнение

2^(2x+2) - 6^x-2*3^(2x+2)=0

6 / - Гость (не проверено) 8 316 10.09.2008 at 17:30 by Soul
Тема форума помогите решить неравенство c модулем
|2*x+1|+|3*x+2|
1 / - Гость (не проверено) 3 581 17.11.2006 at 19:45 by leonid
Тема форума Делимость на степень двойки
Дана последовательность целых чисел 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 42, 63, 94, ...

в...
2 / - Гость (не проверено) 2 619 22.03.2011 at 01:55 by VAL
Тема форума Что больше? (легкая но очень красивая)
n - натуральное число.
Что больше: число натуральных чисел, не больших n и делящихся на 3,...
8 / - Гость (не проверено) 4 928 05.01.2011 at 19:32 by glorius_May (не проверено)
Тема форума Сколько единиц в целой части?
Определите количество цифр 1 в десятичной записи целой части числа ...
6 / - Гость (не проверено) 5 087 23.02.2011 at 16:00 by vicvolf
Тема форума Написал во флейм, но, видимо, зря
Тут в газете загадка

0 16 121 225 324 400 81

продолжите последовательность...
9 / - Гость (не проверено) 7 692 22.01.2013 at 16:59 by cnupm99
Тема форума Пожалуйста решите задачу
Пожалуйста если не трудно решите задачу такого типа :

Если двузначное число разделить...
2 / - Гость (не проверено) 4 107 13.11.2006 at 23:03 by master
Тема форума Как избежать перебора?
Ha книжной полке стоят 5 томов энциклопедии в следующем порядке: 1, 2, 3, 5, 4. Разрешается
...
1 / - Гость (не проверено) 2 286 06.03.2011 at 17:12 by Xenia1996
Тема форума Задача для 5 класса
0, 1, 1, 2, 9, 25, 68, 21, 21, 84, ?

Какое следующее число?
2 / - Гость (не проверено) 2 536 15.03.2011 at 18:43 by Xenia1996
Тема форума формула для расчета площади
Мне нужно расчитать, какую площадь занимают 29 ящиков c имеющимся у меня объемом
2 / - Гость (не проверено) 4 763 14.12.2006 at 14:21 by Developer
Тема форума Как найти, сколько решений имеет уравнение?
Дано уравнение
...
9 / - Гость (не проверено) 8 445 23.03.2011 at 15:50 by chego
Тема форума решение задания
Вы не могли бы мне помочь решить эту задачку,у меня не получается, я пробовала через анализ...
4 / - Гость (не проверено) 4 570 13.01.2007 at 03:49 by Natrix
Тема форума Найти следующее число в последовательности
2011, 16, 14, 10, ?

Задачка для третьего класса, я решить не смог. A вы можете?
5 / - Гость (не проверено) 3 734 08.01.2011 at 02:30 by 12d3
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Авторсортировать по убыванию Просмотров Последнее сообщение
Геометрическая прогрессия
Помогите решить задачу!
Три числа являются геометрической прогрессией. Их сумма равна 35 a...
6 / - Гость (не проверено) 10 251 14.11.2007 at 05:15 by Tarsik
прямые на плоскости
Есть 3 прямых, исходящих из начала координат под известными углами А1, А2 и А3. Через каждую из...
1 / - Гость (не проверено) 2 720 27.05.2013 at 09:19 by bot
Помогите решить задачу ( Арифметическая прогрессия / Геометрическа я прогрессия)
Ha арифметическую :

a1 + a2 + a3 = 66
a2 * a3 = 528
S10=?


Ha...
4 / - Гость (не проверено) 6 838 11.10.2006 at 00:25 by Soul
Жидкость в полушаре
Значит так....вот думала....думала...не надумала.....Задача: Определить сколько жидкости останется...
4 / - Гость (не проверено) 4 177 09.02.2007 at 21:26 by Наташа
Никак не могу решить тригонометрическое уравнение
Помогите решить элементарное тригонометрическое уравнение
2*sin11x + 3^0.5*sin5x + cos 5x = 0...
7 / - Гость (не проверено) 10 267 19.04.2009 at 12:03 by Hottabych
Помогите с решением уравнения
...
9 / - Гость (не проверено) 8 441 19.08.2013 at 06:22 by bot
тригонометрия
Помооогите пример решить ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!!
1-синус 2 икс=косинус икс-синус икс
...
4 / - Гость (не проверено) 6 331 16.12.2006 at 06:48 by barmaley
Фалесова геометрия o вписанной окружности
Вписать окружность в треугольник в фалесовой геометрии можно, каким образом доказать?
- Гость (не проверено) 2 567 Гость (не проверено)
ТРигонометрия.уравнения.системы.10класс
одна вторая cos2x + корень из трех делить на два sin2x=1
cos^2x+sin2x-3sin^2x=0
1+cos4x=...
3 / - Гость (не проверено) 5 488 14.01.2007 at 22:00 by leonid
геометрия
Очень прошу, помогите решить задачку. Bce свои знания средней школы перетряхнула, все книги,...
44 / - Гость (не проверено) 22 696 16.01.2007 at 04:03 by Natrix
Задача для 3 класса
Заранее прошу извинить, если эта тема идет несколько вразрез c правилами форума, но всё же.
...
9 / - Гость (не проверено) 14 113 17.01.2007 at 03:13 by Bujhm
Параллелограмм.
Периметр параллелограмма равен 30см, a его острый угол равен 60 градусов. Диагональ...
3 / - Гость (не проверено) 9 458 21.10.2006 at 19:35 by Roto
Помогите решить уравнение
Помогите решить уравнение

2^(2x+2) - 6^x-2*3^(2x+2)=0

6 / - Гость (не проверено) 8 316 10.09.2008 at 17:30 by Soul
Делимость на степень двойки
Дана последовательность целых чисел 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 42, 63, 94, ...

в...
2 / - Гость (не проверено) 2 619 22.03.2011 at 01:55 by VAL
помогите решить неравенство c модулем
|2*x+1|+|3*x+2|
1 / - Гость (не проверено) 3 581 17.11.2006 at 19:45 by leonid
Что больше? (легкая но очень красивая)
n - натуральное число.
Что больше: число натуральных чисел, не больших n и делящихся на 3,...
8 / - Гость (не проверено) 4 928 05.01.2011 at 19:32 by glorius_May (не проверено)
Сколько единиц в целой части?
Определите количество цифр 1 в десятичной записи целой части числа ...
6 / - Гость (не проверено) 5 087 23.02.2011 at 16:00 by vicvolf
Написал во флейм, но, видимо, зря
Тут в газете загадка

0 16 121 225 324 400 81

продолжите последовательность...
9 / - Гость (не проверено) 7 692 22.01.2013 at 16:59 by cnupm99
Как избежать перебора?
Ha книжной полке стоят 5 томов энциклопедии в следующем порядке: 1, 2, 3, 5, 4. Разрешается
...
1 / - Гость (не проверено) 2 286 06.03.2011 at 17:12 by Xenia1996
Пожалуйста решите задачу
Пожалуйста если не трудно решите задачу такого типа :

Если двузначное число разделить...
2 / - Гость (не проверено) 4 107 13.11.2006 at 23:03 by master
Задача для 5 класса
0, 1, 1, 2, 9, 25, 68, 21, 21, 84, ?

Какое следующее число?
2 / - Гость (не проверено) 2 536 15.03.2011 at 18:43 by Xenia1996
Как найти, сколько решений имеет уравнение?
Дано уравнение
...
9 / - Гость (не проверено) 8 445 23.03.2011 at 15:50 by chego
формула для расчета площади
Мне нужно расчитать, какую площадь занимают 29 ящиков c имеющимся у меня объемом
2 / - Гость (не проверено) 4 763 14.12.2006 at 14:21 by Developer
Найти следующее число в последовательности
2011, 16, 14, 10, ?

Задачка для третьего класса, я решить не смог. A вы можете?
5 / - Гость (не проверено) 3 734 08.01.2011 at 02:30 by 12d3
решение задания
Вы не могли бы мне помочь решить эту задачку,у меня не получается, я пробовала через анализ...
4 / - Гость (не проверено) 4 570 13.01.2007 at 03:49 by Natrix
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Системы линейных уравнений общего вида

5.5. Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и ` A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;   б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., x n, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

                      a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1, r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

                      a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2, r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

                       ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...

                      a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r, r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Ее можно решить относительно x 1, x 2,..., x r, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x 1, x 2,..., x r. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все b i = 0, т. е. она имеет вид:

                                        a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0,

                                        a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0,                                     (5.5)

                                         ...     ...     ...     ...     ...     ...

                                        a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x 1 = x 2 =... = x n = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x 1, x 2,..., x n ) T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A ), если найдется такое число l , что будет выполняться равенство

AX = l X.

Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A ), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = l X в виде (A - l E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

                                        (a 11 - l )x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

                                        a 21 x 1 + (a 22 - l )x 2 +... + a 2n x n = 0,

                                          ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...                                               (5.6)

                                        a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn - l )x n = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l , которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - l E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.

Пример 2.16 . Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

                                                     x 1 +  x 2 - 2x 3 -   x 4 +   x 5 =1,

                                                 3x 1 -   x 2 +  x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4,

                                                     x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 +   x 5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и ` A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

Очевидно, что r(A) = r( ` A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

                                                    x 1 + x 2 -  2x 3 -    x 4 + x 5 = 1,

                                                       - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4         = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x 1 и x 2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

                                                    x 1 + x 2 =   2x 3 +   x 4 - x 5 + 1,

                                                       - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

откуда x 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x 3, x 4, x 5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

                                                    2x 1 -   x 2 +   x 3 +     x 4 = 1,

                                                      x 1 + 2x 2 -   x 3 +   4x 4 = 2,

                                                    x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица ` . Имеем ` А ~   следовательно, исходная система равносильна такой:

                                                 x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

                                                         5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

                                                                                   0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x 2 = 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 = 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

                                                    a 1 = (1, 1, 4, 2),

                                                    a 2 = (1, -1, -2, 4),

                                                    a 3 = (0, 2, 6, -2),

                                                    a 4 = (-3, -1, 3, 4),

                                                    a 5 = (-1, 0, - 4, -7).

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд.
I ), что выполняется векторное равенство:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

                                          x 1 +  x 2 -          3x 4 -   x 5 = 0,

                                          x 1 -   x 2 + 2x 3 -   x 4          = 0,

                                        4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0,

                                        2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

 .

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x 1, x 2, x 4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

                                                    x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5,

                                                        -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5,

                                                                - 3x 4 = - x 5.

Имеем: x 4 = 1/3 x 5, x 2 = 5/6x 5 +x 3, x 1 = 7/6 x 5 -x 3.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x 3 и x 5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x 5 = 6, x 3 = 1. Тогда x 4 =2, x 2 = 6, x 1 =6 и мы получим соотношение

6 a 1 + 6 a 2 + a 3 + 2 a 4 + 6 a 5 = 0,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример 2.19 . Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение. Вычислим определитель матрицы A

.

Итак, = ( l - 2) 2 × ( l +2) 2. Корни характеристического уравнения Shok - это числа l 1 = 2 и l 2 = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения l в систему (5.6): при l = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

                   x 1 - x 2                        = 0,                       x 1 - x 2                         = 0,

                   x 1 - x 2                        = 0,            Þ            3x 2 -7x 3 - 3x 4 = 0,

                 3x 1 -       7x 3 - 3x 4 = 0,                                    5x 3 +  x 4 = 0.

                 4x 1 - x 2 + 3x 3 -  x 4 = 0,

Следовательно, собственному значению l = 2 отвечают собственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a - любое отличное от нуля действительное число. При l = -2 имеем :

,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

                                                                       x 1 +3x 2             = 0,

                                                                              x 2             = 0,

                                                                                  x 3 +x 4 = 0.

Поэтому собственному значению l = -2 отвечают собственные векторы вида b (0, 0,-1, 1), где b - любое отличное от нуля действительное число.