Вход через социальные сети

Системы линейных уравнений общего вида

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 480 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 1 118 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 835 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 28 604 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 3 024 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 584 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 719 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 727 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 228 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 5 330 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 991 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 004 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 6 907 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 133 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 857 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 857 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 294 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 253 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 572 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 226 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 964 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 998 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 813 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 485 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 2 123 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 480 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 1 118 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 835 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 28 604 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 3 024 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 584 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 719 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 727 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 228 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 5 330 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 991 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 004 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 6 907 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 133 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 857 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 857 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 294 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 253 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 572 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 226 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 964 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 998 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 813 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 485 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 2 123 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Системы линейных уравнений общего вида

5.5. Системы линейных уравнений общего вида

Если система (5.1) оказалась совместной, т. е. матрицы A и ` A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;   б) r < n:

а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера;

б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Перенесем лишние неизвестные x r+1, x r+2,..., x n, которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

                      a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1, r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

                      a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2, r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

                       ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...     ...

                      a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r, r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Ее можно решить относительно x 1, x 2,..., x r, так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x 1, x 2,..., x r. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

Система (5.1) называется однородной, если все b i = 0, т. е. она имеет вид:

                                        a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0,

                                        a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0,                                     (5.5)

                                         ...     ...     ...     ...     ...     ...

                                        a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x 1 = x 2 =... = x n = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x 1, x 2,..., x n ) T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A ), если найдется такое число l , что будет выполняться равенство

AX = l X.

Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A ), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = l X в виде (A - l E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

                                        (a 11 - l )x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

                                        a 21 x 1 + (a 22 - l )x 2 +... + a 2n x n = 0,

                                          ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...                                               (5.6)

                                        a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn - l )x n = 0.

Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

.

Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l , которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - l E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.

Пример 2.16 . Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

                                                     x 1 +  x 2 - 2x 3 -   x 4 +   x 5 =1,

                                                 3x 1 -   x 2 +  x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4,

                                                     x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 +   x 5 =0.

Решение. Будем находить ранги матриц A и ` A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

Очевидно, что r(A) = r( ` A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

                                                    x 1 + x 2 -  2x 3 -    x 4 + x 5 = 1,

                                                       - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4         = 1.

Поскольку определитель при неизвестных x 1 и x 2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

                                                    x 1 + x 2 =   2x 3 +   x 4 - x 5 + 1,

                                                       - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

откуда x 2 = 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 = 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x 3, x 4, x 5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

                                                    2x 1 -   x 2 +   x 3 +     x 4 = 1,

                                                      x 1 + 2x 2 -   x 3 +   4x 4 = 2,

                                                    x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица ` . Имеем ` А ~   следовательно, исходная система равносильна такой:

                                                 x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

                                                         5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

                                                                                   0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x 2 = 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 = 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

                                                    a 1 = (1, 1, 4, 2),

                                                    a 2 = (1, -1, -2, 4),

                                                    a 3 = (0, 2, 6, -2),

                                                    a 4 = (-3, -1, 3, 4),

                                                    a 5 = (-1, 0, - 4, -7).

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд.
I ), что выполняется векторное равенство:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

                                          x 1 +  x 2 -          3x 4 -   x 5 = 0,

                                          x 1 -   x 2 + 2x 3 -   x 4          = 0,

                                        4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0,

                                        2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

 .

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x 1, x 2, x 4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

                                                    x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5,

                                                        -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5,

                                                                - 3x 4 = - x 5.

Имеем: x 4 = 1/3 x 5, x 2 = 5/6x 5 +x 3, x 1 = 7/6 x 5 -x 3.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x 3 и x 5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x 5 = 6, x 3 = 1. Тогда x 4 =2, x 2 = 6, x 1 =6 и мы получим соотношение

6 a 1 + 6 a 2 + a 3 + 2 a 4 + 6 a 5 = 0,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Пример 2.19 . Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение. Вычислим определитель матрицы A

.

Итак, = ( l - 2) 2 × ( l +2) 2. Корни характеристического уравнения Shok - это числа l 1 = 2 и l 2 = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения l в систему (5.6): при l = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

                   x 1 - x 2                        = 0,                       x 1 - x 2                         = 0,

                   x 1 - x 2                        = 0,            Þ            3x 2 -7x 3 - 3x 4 = 0,

                 3x 1 -       7x 3 - 3x 4 = 0,                                    5x 3 +  x 4 = 0.

                 4x 1 - x 2 + 3x 3 -  x 4 = 0,

Следовательно, собственному значению l = 2 отвечают собственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a - любое отличное от нуля действительное число. При l = -2 имеем :

,

и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

                                                                       x 1 +3x 2             = 0,

                                                                              x 2             = 0,

                                                                                  x 3 +x 4 = 0.

Поэтому собственному значению l = -2 отвечают собственные векторы вида b (0, 0,-1, 1), где b - любое отличное от нуля действительное число.