Вход через социальные сети

наложения и движения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Albendazole | Internet Pharmacy Buy Online


Looking for a albendazole? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 105 14.02.2018 at 02:23 by hallowedmantisdfy
scientist Levitra | Find Diners Club Purchase


Looking for a levitra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 91 13.02.2018 at 00:01 by hallowedmantisdfy
scientist Crestor | Buy Cure Septicemia


Looking for a crestor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 178 12.02.2018 at 21:52 by hallowedmantisdfy
scientist Requip | India Acid Price 0


Looking for a requip? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 87 08.02.2018 at 20:44 by hallowedmantisdfy
scientist Tamoxifen | Low Price 10Mg Overnight


Looking for a tamoxifen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 96 07.02.2018 at 08:24 by hallowedmantisdfy
scientist Deltasone | To Buy Nosipren


Looking for a deltasone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 86 07.02.2018 at 06:31 by hallowedmantisdfy
scientist Nuvigil | Buy With Overnight Delivery


Looking for a nuvigil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 107 06.02.2018 at 12:31 by hallowedmantisdfy
scientist Armodafinil | Cost


Looking for a armodafinil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 223 23.01.2018 at 09:59 by hallowedmantisdfy
scientist Clozaril | Order Pharmaceutical Sale Pills


Looking for a clozaril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 187 23.01.2018 at 05:37 by hallowedmantisdfy
scientist Noroxin | Can I Purchase Indiana


Looking for a noroxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 205 21.01.2018 at 18:58 by hallowedmantisdfy
scientist Carafate | Order Online No Prescription


Looking for a carafate? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 246 20.01.2018 at 23:08 by hallowedmantisdfy
scientist Grifulvin | Price V Apotheke 5Mg


Looking for a grifulvin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 213 20.01.2018 at 09:47 by hallowedmantisdfy
scientist Revia | Buy Without A Rx


Looking for a revia? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 187 19.01.2018 at 17:25 by hallowedmantisdfy
scientist Ambien | Mail Order


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 319 18.01.2018 at 16:04 by hallowedmantisdfy
scientist Diclofenac | Where Can I Buy


Looking for a diclofenac? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 253 16.01.2018 at 20:39 by hallowedmantisdfy
scientist Toradol | Buy


Looking for a toradol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 238 16.01.2018 at 15:29 by hallowedmantisdfy
scientist Reglan | Purchase For Cats


Looking for a reglan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 251 16.01.2018 at 08:29 by hallowedmantisdfy
Тема форума тригонометрия

...

1 / - leonidzilb 572 28.12.2017 at 00:45 by grigoriy
Тема форума модуль вектора в криволин координатах
Здравствуйте!
как найти модуль вектора, через его компоненты в криволинейных координатах?...
6 / - skarden 13 816 25.12.2017 at 09:46 by alfield37
Тема форума Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 2 128 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Тема форума Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 1 478 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 445 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 3 620 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 2 295 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 33 778 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
  • 156страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
тригонометрия

...

1 / - leonidzilb 572 28.12.2017 at 00:45 by grigoriy
модуль вектора в криволин координатах
Здравствуйте!
как найти модуль вектора, через его компоненты в криволинейных координатах?...
6 / - skarden 13 816 25.12.2017 at 09:46 by alfield37
Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 2 128 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 1 478 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 445 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 3 620 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 2 295 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 33 778 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 5 256 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 285 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 419 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 487 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 2 444 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 8 531 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 685 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 734 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 9 873 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 835 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 893 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 816 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 3 475 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 2 008 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 2 438 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 959 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 966 28.12.2016 at 20:55 by Albe
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:31
adminus
0 up down

наложения и движения


Глава 15. Неевклидова геометрия

15.1. Аксиоматический метод построения геометрии

Изучаемая в школе геометрия является иллюстрацией метода построения теории, которая получила название аксиоматического метода.

К началу III в. до н. э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просущестовала без изменений до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматичекий метод, и на рубеже XIX–XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.

Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем:

  • перечисляются основные (неопределяемые) понятия,
  • все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее.

Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая – это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, – отношение между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми.

  • Далее формулируются аксиомы – предложения, принимаемые без доказательства. Доказывая какое-либо утверждение, опираются на некоторые предпосылки, которые считаются известными. Но эти предпосылки необходимо в свою очередь обосновать, опираясь на другие, и т. д. Чтобы оборвать эту бесконечную последовательность, вводят аксиомы – предпосылки, которые принимаются за исходные и составляют основу для доказательства теорем. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений. Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии. Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру (пример такой системы – система неевклидовой геометрии). Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения.

Для того чтобы абстрактная теория приобрела определенный смысл, необходимо найти объект-модель, т.е. указать систему конкретных объектов и отношений между ними так, чтобы соблюдались установленные аксиомы. Такую модель иначе называют еще интерпретацией аксиоматики.

Таким образом, изучаемая нами геометрия является моделью утвержденной ранее системы, в которой точку мы представляем как идеализацию следа остро отточенного карандаша, прямую – как идеализацию туго натянутой нити, а плоскость – как идеализацию гладкой поверхности стола.

Для отвлеченной аксиоматики неизвестно, могут ли выводы из нее привести к противоречию. Такая аксиоматика, заключающая в себе противоречие, заведомо не может реализоваться и не имеет смысла. Таким образом, первое условие для любой системы аксиом – это ее непротиворечивость. Вопрос о противоречивости системы решается представлением ее модели. В частности, непротиворечивость системы аксиом геометрии решается построением ее арифметической модели в рамках теории действительных чисел.

Другой вопрос, касающийся системы аксиом, – это желательная их независимость. Система аксиом называется независимой, если ни одна из них не является логическим следствием остальных. К примеру, независимость аксиомы о параллельных прямых в рамках аксиоматики евклидовой геометрии удалось установить только в XIX веке, после двух тысячелетий попыток вывести ее как следствие других аксиом системы.

Доказательство независимости данной аксиомы в системе достигается указанием модели, в которой выполняются все аксиомы, кроме данной, которая заменяется ее отрицанием. Далее желательно, чтобы система аксиом была полной, то есть такой, что добавление к ней новой аксиомы делает новую систему аксиом зависимой. Система аксиом геометрии является полной, но это скорее исключение, чем правило: обычно системы аксиом оказываются неполными.

К середине XIX века, как уже было отмечено, основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом. Наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого математика Давида Гильберта, изложенная в его книге «Основания геометрии» в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением – принадлежности, порядка, равенства. Такое расчленение позволило, во-первых, формировать аксиомы кратким и простым образом; во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если положить в основу не всю аксиоматику, а только ту или иную ее группу. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними – это просто какие-то мыслимые «вещи», про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.

Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии: аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Шуром и основанная на понятии движения (наложения) (эта идея используется в учебнике геометрии для средних школ в России, изданного под научным руководством академика А. Н. Тихонова), аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же Вениамином Федоровичем Каганом, векторная аксиоматика Германа Вейля и др.

Несмотря на то, что вопрос о формулировке непротиворечивой, полной и независимой системы аксиом геометрии был решен, выбор «удобной» системы остается открытым еще и с точки зрения методики и наглядности изложения материала, т. е. с точки зрения педагогики. В связи с этим необходимо заметить, что приведенная в этом курсе система аксиом, так же, как и в других учебниках для средних школ, не является полной. Так, в частности, ниоткуда не следует, что между двумя данными точками прямой лежит еще точка этой прямой. Нам кажется это очевидным, так как прямая, по нашим представлениям, сплошная, непрерывная, без «дыр». Но это представление должно получить точное определение в виде свойства прямой. Аксиома, задающая это свойство, есть, и она называется «аксиомой непрерывности». Но эта аксиома не приводится в курсе, поскольку ее использование затруднит изложение и приходится поступиться строгостью в угоду наглядности и простоте. Не везде обосновывают и утверждения, которые кажутся очевидными, но их строгое обоснование трудоемко и объемно. Таким примером является утверждение: простая замкнутая ломаная L разбивает плоскость на две части – ограниченный многоугольник F и неограниченную фигуру G , дополняющую F до всей плоскости.