Вход через социальные сети

Эллипс и его свойства

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Теоретическая статья Обратная матрица

Обратная матрица

- adminus 33 152 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Ранг матрицы

Ранг матрицы

- adminus 31 790 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Определители

Определители

- adminus 29 008 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Матрицы и определители - adminus 34 215 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Матрицы. Операции над матрицами

Матрицы. Операции над матрицами

4.1.Матрицы. Операции над матрицами

...
- adminus 39 313 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость и прямая в пространстве

- adminus 39 956 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Уравнения прямых и кривых на плоскости

Уравнения прямых и кривых на плоскости

- adminus 35 950 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Вектор. Основные свойства.

Вектор. Основные свойства.

- adminus 36 116 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объем шара - adminus 28 777 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Аналитическая геометрия (пока почти пусто) - adminus 68 485 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объём шара

Объём шара

Введём декартовы координаты, приняв центр шара за начало...

- adminus 22 025 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объемы и поверхности тел вращения - adminus 33 036 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объем цилиндра и конуса

Объем цилиндра и конуса

...
- adminus 29 574 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Теорема Симпсона

Теорема Симпсона

...
- adminus 36 376 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объем пирамиды

Объем пирамиды

...
- adminus 36 312 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Объемы многогранников - adminus 29 765 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Определение объема тела

Определение объема тела

...
- adminus 33 267 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка

...
- adminus 31 494 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Вписанные и описанные многогранники

Вписанные и описанные многогранники

...
- adminus 37 139 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Касания круглых тел с прямой и плоскостью

Касания круглых тел с прямой и плоскостью

...
- adminus 27 619 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Конические сечения

Конические сечения

...
- adminus 29 852 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Сфера

Сфера

...
- adminus 35 094 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Тела вращения - adminus 33 985 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Конус объем

Конус объем

...
- adminus 31 970 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Цилиндр

Цилиндр

...
- adminus 27 511 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Школьные теоремы методом координат?
Есть ли такая литература, где школьные геометрические теоремы доказываются методом координат?...
5 / - Valambar 5 100 04.01.2014 at 19:12 by walkrunm
преобразование логарифмического выражения
Здравствуйте! Наверное решается в одно действие, но что-то не пойму, подскажите пожалуйста...
2 / - tata00tata 2 901 23.12.2013 at 18:08 by tata00tata
Что такое инфляция?
Допустим у меня сегодня есть 60 руб. и я могу на них купить 6 стаканов чая по 10 руб. Завтра...
7 / - Таланов 5 197 23.12.2013 at 12:31 by Варвар
тригонометрическое выражение
тригонометрия. надо решить

Найдите значение выражения 16sin(a-pi/4), если sin2a=23/32...
4 / - sergey001 5 173 19.12.2013 at 17:29 by geh
Решить уравнение(тригонометрия)
Абсолютно ничего не могу придумать
Смущает аргумент при синусе
sin 3p*x/4 + x^2 - 4x + 5...
1 / - n11ceo 2 488 16.12.2013 at 19:11 by geh
Уравнение квадрата.
Дано уравнение
|x-a|+|x-b|=c
откуда оно взялось и как его решать??
Это уравнение...
3 / - geh 12 594 16.12.2013 at 12:43 by Ian
Уравнение с целой и дробной частью.
Решить уравнение:
x*[x]*{x}=a 0...
1 / - Amir Alison 5 589 14.12.2013 at 19:04 by geh
Задание с параметром
При каких значениях a...
5 / - GrandCub 6 799 14.12.2013 at 14:44 by geh
найти интервал убывания функции
функция вида 3|x+2|
я решал в следующем виде
3(x+2)=0
3x+6=0
x=-2
далее...
5 / - yuri94 5 122 14.12.2013 at 13:27 by bot
Сумма степеней натуральных чисел.
Дано:
...
3 / - geh 3 814 14.12.2013 at 10:26 by Ian
Помогите пожалуйста с многочленом
Многочлен ...
3 / - GrandCub 5 640 13.12.2013 at 12:38 by geh
Контрольная работа
Добрый день. Объясните мне почему учитель поставила 4 и утверждает, что задача решена не верно
4 / - inessa-liliya 3 988 13.12.2013 at 11:38 by bot
Приведение подобных слагаемых
Здравствуйте!
Обьясните, пожалуйста, как в данном примере раскрыли скобки и привели подобные...
1 / - semmyk1 3 121 06.12.2013 at 17:51 by Albe
помогите найти сумму ряда
Здравствуйте, подскажите пожалуйста с решением

...
8 / - nikita1 6 627 03.12.2013 at 20:33 by Ian
Помогите решить задачу для 5 класса.
Здравствуйте.
Помогите пожалуйста решить вот такую задачу из учебника по математике для 5...
7 / - Andrei-78 21 827 30.11.2013 at 11:43 by Madara
Почему синус и косинус по формуле приведения не сходятся?
Вроде как ...
8 / - Raven182 5 824 29.11.2013 at 22:54 by zykov
Задача, найти сумму ряда
Здравствуйте
Понадобилось найти сумму ряда \sum_{n1 = 0}^{n} n-n1+1

Ряд мне...
6 / - nastenysh92 5 883 26.11.2013 at 19:10 by bot
задача по геометрии
Здравствуйте! Есть задача

Биссектриса угла М треугольника MNK делит медиану NN1 в...
2 / - tata00tata 6 734 21.11.2013 at 16:20 by tata00tata
Интересная задачка про пирамиду с кривыми числами
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12,а диагональ основания равна 10.Найдите площадь...
11 / - vit105money 8 536 18.11.2013 at 18:26 by Купуте
Рациональное уравнение
Скажите, пожалуйста, можно решить это уравнение если перенести x-1/x-8 в левую часть и привести...
2 / - semmyk1 3 260 15.11.2013 at 15:11 by zam2
Показательное неравенство))
Помогите, пожалуйста.

3^(2x+1) *2^(2x-3)
4 / - Tatata 4 208 11.11.2013 at 13:12 by Albe
Задачка для 1-го класса
... в котором первая цифра обозначает число нулей в числе, вторая - число единиц в числе, третья...
1 / - Таланов 3 117 03.11.2013 at 09:17 by zam2
Задача из ЕГЭ по математике
Помогите решить.
Площадь параллелограмма АВСD равна 3. Точка H - середина стороны AD....
1 / - vicka_fun 3 325 29.10.2013 at 13:27 by Nameless_2013
написать уравнение плоскости
Здравствуйте! Нужно составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и две точки (...
5 / - tata00tata 4 372 23.10.2013 at 15:26 by tata00tata
Проверка решения
При проверке решения вылезла лишняя двойка. Откуда она взялась? Никак не могу разобраться....
3 / - JackNN 4 900 29.09.2013 at 14:11 by bot
18.08.2014, 04:27
adminus
1 up down

Эллипс и его свойства


Глава 10. Декартовы координаты

10.8. Эллипс и его свойства

В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:
Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку  и повернув оси исходной системы на угол 90°.

В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:
или
В новой системе координат, которую называют канонической , уравнение эллипса имеет вид
при этом
то есть при k  < 1 получим, что a  >  b  > 0. В дальнейшем для удобства будем опускать знак "штрих" и будем вместо x'  ( y' ) писать x  ( y ). Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса .

Рассмотрим свойства эллипса.

Свойство 10.1. 

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Доказательство

Для определения точек пересечения эллипса с осью Ox нужно решить совместно два уравнения
Отсюда получим x  = ± a . Таким образом, точками пересечения эллипса с осью Ox будут точки A  ( a ; 0) и  C  (– a ; 0).

Аналогично, точки пересечения эллипса с осью Oy  –  B  (0;  b ) и  D  (0; – b ).

Точки A B C  и  D называются вершинами эллипса . Отрезок AC называется большой осью эллипса , отрезок BD малой осью . Числа a  и  b называют полуосями эллипса . Точки  и  где  называются фокусами эллипса .

Пусть M  ( x y ) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.
  Рассмотрим выражение

Здесь мы учли, что координаты ( x y ) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.

Величину  называют эксцентриситетом эллипса . Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку  то отсюда следует, что a  – ε x  > 0. Поэтому  

Свойство 10.2. 

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Доказательство

Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим

Свойство 10.3. 

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство

В уравнение эллипса переменные x  и  y входят только во второй степени, поэтому если точка  принадлежит эллипсу, то точки  и  также принадлежат ему, так как их координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Точка  симметрична точке M относительно оси Ox , а точка  – относительно Oy . Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая полуоси эллипса лежат на его осях симметрии.

Свойство 10.4.  Эллипс имеет центр симметрии.

Доказательство

Если координаты точки M  ( x y ) удовлетворяют уравнению эллипса, то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N  (– x ; – y ). Точка M симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии.

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса .

Свойство 10.5.  Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Доказательство

Пусть  – окружность с центром в начале координат и радиуса a . Тогда
Точке  на окружности сопоставим точку  такую, что
Точка  получается сдвигом точки P , при котором абцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношении Координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле,

Таким образом, эллипс можно получить из окружности равномерным сжатием к оси Ox , при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же соотношении, равном  Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения  чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и наоборот, чем больше отношение  тем эллипс будет менее сжатым.

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как
то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k .

Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений
Тогда
Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки A и прямой l , есть эксцентриситет эллипса.

Координаты точки  при переходе в новую систему будут равны:
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус  эллипса и поэтому совпадет с ним.

Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид  После замены системы координат получим новое уравнение прямой l
Обозначим  и покажем, что  Действительно,
Поскольку для эллипса ε < 1, то

Прямая x  = – d называется директрисой , соответствующей фокусу F 1 (-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x  =  d , которая является директрисой, соответствующей фокусу F 2 ( c ; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

Рисунок 10.8.1.