Вход через социальные сети

Эллипс и его свойства

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Задача, алгебра 9 класс

Вниз по течению реки последовательно расположены пристани А, В, С. Расстояние между А и В равно...

8 / - Ольга007 7 406 11.12.2014 at 22:31 by Ольга007
Тема форума Очень большое число
Герцогиня Ксю утверждает, что она придумала такое натуральное число, что для любых натуральных...
22 / - Xenia1996 11 056 11.12.2014 at 13:04 by zam2
Тема форума Решение неравенства 6 / - Erjg_5_78 5 677 05.12.2014 at 08:16 by Erjg_5_78
Тема форума Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
60 / - Александр Амелькин 43 199 01.12.2014 at 18:38 by Viktor230
Тема форума Функция и неравенство

Пусть...

4 / - primarhus 4 441 24.11.2014 at 15:07 by Soul
Тема форума Траектория движения точки

Здравствуйте,

Дайте, пожалуйста, формулу для решения для следующего задания:

...

1 / - blanka.kato 2 331 21.11.2014 at 16:00 by zam2
Тема форума Найти значение произведения. (нужна помощь)

(1-1/4)*(1-1/9)*(1- 1/16)*... *(1-1/100)

Помогите с решением. Спасибо.

2 / - ogn_expo 3 416 18.11.2014 at 23:01 by Soul
Тема форума Неопределенный интеграл

Вот есть такой интеграл ...

2 / - GrandCube 2 896 15.11.2014 at 22:35 by GrandCube
Тема форума Нужна книжка по математике
Есть такая книга Математика, (для подготовительных отделений ВУЗов) авт. Метельский.
Кто ee...
5 / - Xilaim 70 950 13.11.2014 at 15:05 by vivo
Тема форума уравнение с параметром

Здравствуйте! Найти при каких значениях a  МЗФ  содержит отрезок [2;3]. Вообще не представляю,...

3 / - tata00tata 3 824 12.11.2014 at 19:16 by Ian
Тема форума Помогите кто-нибудь, пожалуйста

Постройте окружности с центрами в трех данных точках, попарно касающиеся друг друга внешним...

1 / - dan.khv 2 645 06.11.2014 at 10:32 by 12d3
Тема форума помогите пжл. очень срочно

Даны окружность, ее центр и две точки A и B,...

1 / - dan.khv 2 510 06.11.2014 at 10:17 by 12d3
Тема форума Можно как-нибудь решить, не используя угол поворота?

Проведите к данной окружности касательную, от которой данная прямая отсекала бы данный отрезок,...

3 / - dan.khv 3 498 06.11.2014 at 09:36 by Ian
Тема форума Выразить показатель степени

Здравствуйте! Товарищи подскажите пожалуйста, можно ли из этого выражения
...

2 / - niceandquickly 2 765 02.11.2014 at 23:19 by niceandquickly
Тема форума Полиномиальный алгоритм

Класс NP-полных задач NPC (NP-complet) /Класс NP/Класс P  образуют:

1....
1 / - 510272080 2 586 30.10.2014 at 15:13 by ARRY
Тема форума разложение многочленов на множители методом группировки

Уважаемые,плз. подскажите. Есть ли какой-нибудь алгоритм или рекомендации, помогающие ...

1 / - stensen 2 038 30.10.2014 at 11:24 by ARRY
Тема форума Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение?

Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение, зная лишь вероятности тех...

4 / - seen 6 000 17.10.2014 at 17:16 by Ian
Тема форума Помогите плиз решить неравенство!

неравенство: x*log _x+3 (7-2x)>=0. Во первых, находим одз. получаем два промежутка -3...

- r.babicheva 2 034 09.10.2014 at 11:21 by r.babicheva
Тема форума помогите решить задачу

По кругу размещено n шариков, занумерованных в произвольном порядке, n?3. Они обходятся по...

1 / - kemolife 2 512 24.09.2014 at 00:05 by Soul
Тема форума Вынести множитель из-под знака корня

Вынеси множитель из-под знака корня, зная, что переменные принимают неотрицательные значения....

2 / - vadim.ilin.97 4 712 23.09.2014 at 23:05 by folk
Тема форума Вопрос

Доброго времени суток. Попалась задачка по векторам. Найти такие m и n, при которых векторы...

1 / - GrandCube 2 343 20.09.2014 at 19:53 by GrandCube
Тема форума Неравенство

3 / - boroda33 4 175 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Тема форума Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 14 987 13.09.2014 at 13:22 by folk
Тема форума неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24

Найти все значения параметра а при...

1 / - tata00tata 2 472 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- adminus 97 051 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Помогите плиз решить неравенство!

неравенство: x*log _x+3 (7-2x)>=0. Во первых, находим одз. получаем два промежутка -3...

- r.babicheva 2 034 09.10.2014 at 11:21 by r.babicheva
помогите решить задачу

По кругу размещено n шариков, занумерованных в произвольном порядке, n?3. Они обходятся по...

1 / - kemolife 2 512 24.09.2014 at 00:05 by Soul
Вынести множитель из-под знака корня

Вынеси множитель из-под знака корня, зная, что переменные принимают неотрицательные значения....

2 / - vadim.ilin.97 4 712 23.09.2014 at 23:05 by folk
Вопрос

Доброго времени суток. Попалась задачка по векторам. Найти такие m и n, при которых векторы...

1 / - GrandCube 2 343 20.09.2014 at 19:53 by GrandCube
Неравенство

3 / - boroda33 4 175 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 14 987 13.09.2014 at 13:22 by folk
неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24

Найти все значения параметра а при...

1 / - tata00tata 2 472 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Учебные материалы для освежения памяти
Здравствуйте, форумчане-математики.

Посоветуйте литературу для изучения математики по...
3 / - b10s 5 125 14.08.2014 at 00:09 by ARRY
решения
Помогите решит уравнение спасибо!

779,72[(T/10)0.58-(T/9)0.58=88....
13 / - Медя 8 237 08.08.2014 at 17:17 by balans
дифференциал
доброго времени суток) помогите пожалуйста разобраться в понятии дифференциала, т.е. для чего он...
1 / - vicky 2 430 04.08.2014 at 06:42 by ARRY
LaTeX
Так как в вопросах, обсуждаемых на формумах Портала, используется достаточно много математической...
125 / - AV_77 161 542 02.08.2014 at 13:21 by NT
Задачка по геометрии
В остроугольном треугольнике ...
2 / - GrandCube 2 527 29.07.2014 at 21:59 by GrandCube
Интересная задача с теории чисел
На доске записаны четыре целых положительных числа m,n,k,p . На каждом шагу их стирают, и...
4 / - primarhus 3 842 24.07.2014 at 17:48 by primarhus
Метрика на плоскости.
[attachmentid=18197]

Хочу сделать срезы поля под разными углами, с анимацией....
1 / - bliss 2 563 19.07.2014 at 18:55 by bliss
задание на делимость чисел
Здравствуйте. Вот ещё давно хотела спросить, руки не доходили
Докажите, что
...
3 / - tata00tata 3 388 17.07.2014 at 22:12 by Sonic86
тригонометрическое уравнение
Здравствуйте! Никогда не было проблем с тригонометрическими уравнениями, а тут что-то не пойму...
3 / - tata00tata 2 941 14.07.2014 at 20:56 by tata00tata
Помогите решить уравнение
Собственно сама система. Буду рад наводкам на то, как ее решить.


...
2 / - Tap0k 3 143 11.07.2014 at 00:55 by СергейП
Получение координат ближайшей точки
Имеется точка А(Тверь) с координатами 35.88555521 56.86302749
точка B(Москва) с координатами...
3 / - MaksTver69 3 369 02.07.2014 at 12:38 by zam2
Теорема Наполеона
Обобщение этой теоремы на произвольные треугольники в Вики по-русски и в Вольфраме по-английски...
7 / - lpokrov 8 248 27.06.2014 at 14:24 by MikhailStepanov1
Посоветуйте материал для самообразования
Здравствуйте!
Есть непреодолимое желание подняться по математическим дисциплинам.
В...
8 / - merak 7 253 27.06.2014 at 14:13 by MikhailStepanov1
Условие максимального объёма
Здравствуйте!
Есть следующая задача:
"Найти радиус R шара, вписанного в треугольную...
2 / - Tirion 2 647 17.06.2014 at 21:32 by Tirion
Не слабая система с двумя параметрами
Для любых параметров a...
1 / - DarkMel 1 992 16.06.2014 at 07:34 by bot
найти значения букв входящих в выражение
Здравствуйте уважаемые! Подскажите пожалуйста
а29+в30+с31=366. Найти натуральные а в с ?...
4 / - tata00tata 3 397 13.06.2014 at 20:18 by tata00tata
Помогите решить!
Помогите решить:
надо найти долю числа 2314,5 от 2649
нужна дробь
3 / - Tatka37 2 785 10.06.2014 at 15:43 by Таланов
Упростить выражения (7 класс). Почему меняется знак?
Есть выражения (из уравнения, его я сам уже решу):

...
8 / - ПТУ-шник 6 799 25.05.2014 at 12:43 by ПТУ-шник
18.08.2014, 04:27
adminus
1 up down

Эллипс и его свойства


Глава 10. Декартовы координаты

10.8. Эллипс и его свойства

В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:
Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку  и повернув оси исходной системы на угол 90°.

В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:
или
В новой системе координат, которую называют канонической , уравнение эллипса имеет вид
при этом
то есть при k  < 1 получим, что a  >  b  > 0. В дальнейшем для удобства будем опускать знак "штрих" и будем вместо x'  ( y' ) писать x  ( y ). Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса .

Рассмотрим свойства эллипса.

Свойство 10.1. 

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Доказательство

Для определения точек пересечения эллипса с осью Ox нужно решить совместно два уравнения
Отсюда получим x  = ± a . Таким образом, точками пересечения эллипса с осью Ox будут точки A  ( a ; 0) и  C  (– a ; 0).

Аналогично, точки пересечения эллипса с осью Oy  –  B  (0;  b ) и  D  (0; – b ).

Точки A B C  и  D называются вершинами эллипса . Отрезок AC называется большой осью эллипса , отрезок BD малой осью . Числа a  и  b называют полуосями эллипса . Точки  и  где  называются фокусами эллипса .

Пусть M  ( x y ) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.
  Рассмотрим выражение

Здесь мы учли, что координаты ( x y ) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.

Величину  называют эксцентриситетом эллипса . Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку  то отсюда следует, что a  – ε x  > 0. Поэтому  

Свойство 10.2. 

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Доказательство

Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим

Свойство 10.3. 

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство

В уравнение эллипса переменные x  и  y входят только во второй степени, поэтому если точка  принадлежит эллипсу, то точки  и  также принадлежат ему, так как их координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Точка  симметрична точке M относительно оси Ox , а точка  – относительно Oy . Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая полуоси эллипса лежат на его осях симметрии.

Свойство 10.4.  Эллипс имеет центр симметрии.

Доказательство

Если координаты точки M  ( x y ) удовлетворяют уравнению эллипса, то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N  (– x ; – y ). Точка M симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии.

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса .

Свойство 10.5.  Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Доказательство

Пусть  – окружность с центром в начале координат и радиуса a . Тогда
Точке  на окружности сопоставим точку  такую, что
Точка  получается сдвигом точки P , при котором абцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношении Координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле,

Таким образом, эллипс можно получить из окружности равномерным сжатием к оси Ox , при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же соотношении, равном  Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения  чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и наоборот, чем больше отношение  тем эллипс будет менее сжатым.

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как
то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k .

Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений
Тогда
Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки A и прямой l , есть эксцентриситет эллипса.

Координаты точки  при переходе в новую систему будут равны:
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус  эллипса и поэтому совпадет с ним.

Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид  После замены системы координат получим новое уравнение прямой l
Обозначим  и покажем, что  Действительно,
Поскольку для эллипса ε < 1, то

Прямая x  = – d называется директрисой , соответствующей фокусу F 1 (-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x  =  d , которая является директрисой, соответствующей фокусу F 2 ( c ; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

Рисунок 10.8.1.