Вход через социальные сети

Эллипс и его свойства

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Вынести множитель из-под знака корня

Вынеси множитель из-под знака корня, зная, что переменные принимают неотрицательные значения....

2 / - vadim.ilin.97 4 495 23.09.2014 at 23:05 by folk
Тема форума Вопрос

Доброго времени суток. Попалась задачка по векторам. Найти такие m и n, при которых векторы...

1 / - GrandCube 2 224 20.09.2014 at 19:53 by GrandCube
Тема форума Неравенство

3 / - boroda33 3 933 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Тема форума Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 14 136 13.09.2014 at 13:22 by folk
Тема форума неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24

Найти все значения параметра а при...

1 / - tata00tata 2 359 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- adminus 91 586 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Теория множеств

Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел...

- adminus 37 369 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Системы уравнений и неравенств

Система уравнений

...
- adminus 36 076 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Решение неравенств

Методы решения неравенств

В этом разделе на примере...

- adminus 32 211 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Уравнение и его корни

Квадратное уравнение

...

- adminus 37 206 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы по дифференциальным уравнениям

...
- adminus 70 149 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья FAQ

Ответы на часто задаваемые вопросы

  • ...
- adminus 68 300 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Математическая статистика

Ответы на часто задаваемые вопросы по математической статистике

...
- adminus 61 690 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Методы оптимизации

Частые вопросы по методам оптимизации

...
- adminus 68 542 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Основные понятия мат статистики

Частые вопросы по математической статистике

1. Что такое вариационный ряд...
- adminus 20 283 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Использование интегралов в экономических расчетах

Использование интегралов в экономических расчетах

- adminus 31 057 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Теоретическая статья Основные методы интегрирования

Основные методы интегрирования

- adminus 32 458 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Теоретическая статья Интегралы - adminus 27 395 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Теоретическая статья Частные производные. Метод наименьших квадратов.

Частные производные. Метод наименьших квадратов.

- adminus 31 505 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Теоретическая статья Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

- adminus 33 600 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Теоретическая статья Экстремум функции

Экстремум функции

- adminus 30 428 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Теоретическая статья Предельный анализ в экономике. Эластичность функции

Предельный анализ в экономике. Эластичность функции

- adminus 37 219 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Теоретическая статья Производная, правила и формулы дифференцирования

Производная, правила и формулы дифференцирования

- adminus 116 635 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Теоретическая статья Производная - adminus 24 042 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Теоретическая статья Применение пределов в экономических расчетах

Применение пределов в экономических расчетах

- adminus 27 753 18.08.2014 at 04:33 by adminus
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Вынести множитель из-под знака корня

Вынеси множитель из-под знака корня, зная, что переменные принимают неотрицательные значения....

2 / - vadim.ilin.97 4 495 23.09.2014 at 23:05 by folk
Вопрос

Доброго времени суток. Попалась задачка по векторам. Найти такие m и n, при которых векторы...

1 / - GrandCube 2 224 20.09.2014 at 19:53 by GrandCube
Неравенство

3 / - boroda33 3 933 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 14 136 13.09.2014 at 13:22 by folk
неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24

Найти все значения параметра а при...

1 / - tata00tata 2 359 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Учебные материалы для освежения памяти
Здравствуйте, форумчане-математики.

Посоветуйте литературу для изучения математики по...
3 / - b10s 4 659 14.08.2014 at 00:09 by ARRY
решения
Помогите решит уравнение спасибо!

779,72[(T/10)0.58-(T/9)0.58=88....
13 / - Медя 7 648 08.08.2014 at 17:17 by balans
дифференциал
доброго времени суток) помогите пожалуйста разобраться в понятии дифференциала, т.е. для чего он...
1 / - vicky 2 253 04.08.2014 at 06:42 by ARRY
LaTeX
Так как в вопросах, обсуждаемых на формумах Портала, используется достаточно много математической...
125 / - AV_77 158 878 02.08.2014 at 13:21 by NT
Задачка по геометрии
В остроугольном треугольнике ...
2 / - GrandCube 2 371 29.07.2014 at 21:59 by GrandCube
Интересная задача с теории чисел
На доске записаны четыре целых положительных числа m,n,k,p . На каждом шагу их стирают, и...
4 / - primarhus 3 636 24.07.2014 at 17:48 by primarhus
Метрика на плоскости.
[attachmentid=18197]

Хочу сделать срезы поля под разными углами, с анимацией....
1 / - bliss 2 403 19.07.2014 at 18:55 by bliss
задание на делимость чисел
Здравствуйте. Вот ещё давно хотела спросить, руки не доходили
Докажите, что
...
3 / - tata00tata 3 172 17.07.2014 at 22:12 by Sonic86
тригонометрическое уравнение
Здравствуйте! Никогда не было проблем с тригонометрическими уравнениями, а тут что-то не пойму...
3 / - tata00tata 2 692 14.07.2014 at 20:56 by tata00tata
Помогите решить уравнение
Собственно сама система. Буду рад наводкам на то, как ее решить.


...
2 / - Tap0k 2 920 11.07.2014 at 00:55 by СергейП
Получение координат ближайшей точки
Имеется точка А(Тверь) с координатами 35.88555521 56.86302749
точка B(Москва) с координатами...
3 / - MaksTver69 3 152 02.07.2014 at 12:38 by zam2
Теорема Наполеона
Обобщение этой теоремы на произвольные треугольники в Вики по-русски и в Вольфраме по-английски...
7 / - lpokrov 7 827 27.06.2014 at 14:24 by MikhailStepanov1
Посоветуйте материал для самообразования
Здравствуйте!
Есть непреодолимое желание подняться по математическим дисциплинам.
В...
8 / - merak 6 730 27.06.2014 at 14:13 by MikhailStepanov1
Условие максимального объёма
Здравствуйте!
Есть следующая задача:
"Найти радиус R шара, вписанного в треугольную...
2 / - Tirion 2 466 17.06.2014 at 21:32 by Tirion
Не слабая система с двумя параметрами
Для любых параметров a...
1 / - DarkMel 1 857 16.06.2014 at 07:34 by bot
найти значения букв входящих в выражение
Здравствуйте уважаемые! Подскажите пожалуйста
а29+в30+с31=366. Найти натуральные а в с ?...
4 / - tata00tata 3 192 13.06.2014 at 20:18 by tata00tata
Помогите решить!
Помогите решить:
надо найти долю числа 2314,5 от 2649
нужна дробь
3 / - Tatka37 2 612 10.06.2014 at 15:43 by Таланов
Упростить выражения (7 класс). Почему меняется знак?
Есть выражения (из уравнения, его я сам уже решу):

...
8 / - ПТУ-шник 6 333 25.05.2014 at 12:43 by ПТУ-шник
Если не сложно помогите решить,схема решения
Задача:
После клеймения животных ковбои устраивают родео - состязания в скачках, в выездке...
4 / - ed999 6 984 21.05.2014 at 10:08 by violetta729
Система иррациональных уравнений
Доброго времени суток. Делаю проект по иррациональности, решил найти несколько интересных примеров...
5 / - GrandCube 3 989 19.05.2014 at 21:02 by GrandCube
18.08.2014, 04:27
adminus
1 up down

Эллипс и его свойства


Глава 10. Декартовы координаты

10.8. Эллипс и его свойства

В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:
Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку  и повернув оси исходной системы на угол 90°.

В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:
или
В новой системе координат, которую называют канонической , уравнение эллипса имеет вид
при этом
то есть при k  < 1 получим, что a  >  b  > 0. В дальнейшем для удобства будем опускать знак "штрих" и будем вместо x'  ( y' ) писать x  ( y ). Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса .

Рассмотрим свойства эллипса.

Свойство 10.1. 

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Доказательство

Для определения точек пересечения эллипса с осью Ox нужно решить совместно два уравнения
Отсюда получим x  = ± a . Таким образом, точками пересечения эллипса с осью Ox будут точки A  ( a ; 0) и  C  (– a ; 0).

Аналогично, точки пересечения эллипса с осью Oy  –  B  (0;  b ) и  D  (0; – b ).

Точки A B C  и  D называются вершинами эллипса . Отрезок AC называется большой осью эллипса , отрезок BD малой осью . Числа a  и  b называют полуосями эллипса . Точки  и  где  называются фокусами эллипса .

Пусть M  ( x y ) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.
  Рассмотрим выражение

Здесь мы учли, что координаты ( x y ) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.

Величину  называют эксцентриситетом эллипса . Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку  то отсюда следует, что a  – ε x  > 0. Поэтому  

Свойство 10.2. 

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Доказательство

Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим

Свойство 10.3. 

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство

В уравнение эллипса переменные x  и  y входят только во второй степени, поэтому если точка  принадлежит эллипсу, то точки  и  также принадлежат ему, так как их координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Точка  симметрична точке M относительно оси Ox , а точка  – относительно Oy . Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая полуоси эллипса лежат на его осях симметрии.

Свойство 10.4.  Эллипс имеет центр симметрии.

Доказательство

Если координаты точки M  ( x y ) удовлетворяют уравнению эллипса, то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N  (– x ; – y ). Точка M симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии.

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса .

Свойство 10.5.  Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Доказательство

Пусть  – окружность с центром в начале координат и радиуса a . Тогда
Точке  на окружности сопоставим точку  такую, что
Точка  получается сдвигом точки P , при котором абцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношении Координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле,

Таким образом, эллипс можно получить из окружности равномерным сжатием к оси Ox , при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же соотношении, равном  Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения  чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и наоборот, чем больше отношение  тем эллипс будет менее сжатым.

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как
то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k .

Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений
Тогда
Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки A и прямой l , есть эксцентриситет эллипса.

Координаты точки  при переходе в новую систему будут равны:
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус  эллипса и поэтому совпадет с ним.

Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид  После замены системы координат получим новое уравнение прямой l
Обозначим  и покажем, что  Действительно,
Поскольку для эллипса ε < 1, то

Прямая x  = – d называется директрисой , соответствующей фокусу F 1 (-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x  =  d , которая является директрисой, соответствующей фокусу F 2 ( c ; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

Рисунок 10.8.1.