Вход через социальные сети

Эллипс и его свойства

Тип Название темы Ответовсортировать по убыванию Автор Просмотров Последнее сообщение
Теоретическая статья Метод Гаусса

Метод Гаусса

- adminus 28 393 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Тема форума Интересная последовательность
Дана последовательность
...
- Xenia1996 1 545 Xenia1996
Теоретическая статья Разложение выражений на множители

Разложение выражений на множители

...
- adminus 59 112 18.08.2014 at 04:18 by adminus
Теоретическая статья Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

...
- adminus 31 496 18.08.2014 at 04:23 by adminus
Теоретическая статья Окружность Аполлония

Окружность Аполлония

...
- adminus 30 984 18.08.2014 at 04:27 by adminus
Тема форума Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике курс 1 [оплата]
Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике 1 курс.

Контрольная...
- DumBiK 1 658 DumBiK
Тема форума Геоетрия 8 кл
B равнобедренном треугольнике ABC c основанием AC медианы пересекаются в точке O. Найти площадь...
- мама 1 773 мама
Теоретическая статья Математика

Математика

Математик, который не...
- adminus 177 561 18.08.2014 at 04:13 by adminus
Теоретическая статья Системы координат - adminus 32 538 18.08.2014 at 04:21 by adminus
Теоретическая статья Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник

...
- adminus 65 164 18.08.2014 at 04:25 by adminus
Теоретическая статья Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

...
- adminus 37 602 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Преобразование уравнений при изменении координат - adminus 24 486 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- adminus 91 585 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Вектор-функции

Вектор-функции

...
- adminus 28 105 18.08.2014 at 04:24 by adminus
Теоретическая статья Базис. Общая декартова система координат

Базис. Общая декартова система координат

...
- adminus 39 080 18.08.2014 at 04:28 by adminus
Тема форума Помогите пожалуйста c алгеброй)
2вс-в^2-c^2+a^2 / 2bc

^ этим сзнаком степень числа обозначена!

/ - дробная...
- Yuliya_Onischenko 1 590 Yuliya_Onischenko
Тема форума Помогите Пожалуйста!
Найти значения параметров a и d. при которых прямая
x=3 + 4t
y= 1 +4t
z=-3 + t...
- Вася 305 1 569 Вася 305
Теоретическая статья Десятичные дроби

Десятичные дроби

...
- adminus 48 039 18.08.2014 at 04:15 by adminus
Теоретическая статья Асимптоты

Асимптоты

...
- adminus 28 029 18.08.2014 at 04:22 by adminus
Теоретическая статья Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества

...
- adminus 36 138 18.08.2014 at 04:26 by adminus
Теоретическая статья Построения на изображениях

Построения на изображениях

...
- adminus 26 825 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Тема форума Геометрия!
Здравствуйте, Уважаемые Форумчане!!!!...
- vmamcev 2 020 vmamcev
Теоретическая статья Трехгранный угол

Трехгранный угол

...
- adminus 30 940 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Уравнение и его корни

Квадратное уравнение

...

- adminus 37 206 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Обратная функция

Обратная функция

...
- adminus 32 115 18.08.2014 at 04:22 by adminus
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответовсортировать по убыванию Автор Просмотров Последнее сообщение
Интересная задача
Найти все значения х для которых

...
- ETNIES 2 218 ETNIES
Интересная последовательность
Дана последовательность
...
- Xenia1996 1 545 Xenia1996
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 159 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике курс 1 [оплата]
Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике 1 курс.

Контрольная...
- DumBiK 1 658 DumBiK
Геоетрия 8 кл
B равнобедренном треугольнике ABC c основанием AC медианы пересекаются в точке O. Найти площадь...
- мама 1 773 мама
логарифмы
...
- UMNICHKA 1 763 UMNICHKA
Помогите пожалуйста c алгеброй)
2вс-в^2-c^2+a^2 / 2bc

^ этим сзнаком степень числа обозначена!

/ - дробная...
- Yuliya_Onischenko 1 590 Yuliya_Onischenko
Помогите Пожалуйста!
Найти значения параметров a и d. при которых прямая
x=3 + 4t
y= 1 +4t
z=-3 + t...
- Вася 305 1 569 Вася 305
Геометрия!
Здравствуйте, Уважаемые Форумчане!!!!...
- vmamcev 2 020 vmamcev
Range of f(x)
If ...
- jacks 1 621 jacks
Решить задачку
сечение цилиндра паралельно его оси отсекает от окружности дугу в 120 градусов. Радиус цилиндра 6...
- mmmarsel1991 1 699 mmmarsel1991
краевая задача, метод наименьших квадратов
Здравствуйте. Мне необходимо реализовать решение краевой задачи для диф. уравнения методом...
- carlos0n 1 896 carlos0n
Координаты в пространстве
Вот тут 8 задачек которые я не могу ника решить ребята помогите пожалуйста!

только...
- headlong 1 751 headlong
Задачи по стереометрии - оплачиваемые
...
- Руслан111 1 773 Руслан111
Бесконечно ли много квадратов в последовательности?
Дана последовательность натуральных чисел:
...
- Xenia1996 1 595 Xenia1996
Тригонометрические неравенства
...
- ольгаша 1 678 ольгаша
3 задачи на решение
Ребят помогите с решением 3 задач, немогу понять откуда корни ростут, я заочник и этих тем нам не...
- beznavorotov 1 494 beznavorotov
Сумма 2011-ых степеней
Существуют ли 11...
- Xenia1996 1 539 Xenia1996
подскажите пожалуйста как решить
найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 4cosx*cos2x...
- tanya611 1 707 tanya611
найти мин. и макс. значение выражения
Найти мин. и макс. значение выражения:
Sin(a) + cos(a)

Подскажите пожалуйста как...
- Racer 1 670 Racer
задачки по геометрии
Может, кто-то сможет помочь c задачкой на двугранные углы:

1) У правильной треугольной...
- mat-maniak 2 162 mat-maniak
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 1 518 05.02.2015 at 09:24 by a_gaini_r
задача
Pacстояние между селами A и B Равно 150 км. Из села A в Село B одновременно выезжают две машины....
- tanya611 1 590 tanya611
Планиметрия
Пять дней уже мучаюсь c этой задачей: не могу решить и всё. :-(((

Окружность касается...
- ARBUZ 1 817 ARBUZ
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 304 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:27
adminus
1 up down

Эллипс и его свойства


Глава 10. Декартовы координаты

10.8. Эллипс и его свойства

В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:
Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку  и повернув оси исходной системы на угол 90°.

В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:
или
В новой системе координат, которую называют канонической , уравнение эллипса имеет вид
при этом
то есть при k  < 1 получим, что a  >  b  > 0. В дальнейшем для удобства будем опускать знак "штрих" и будем вместо x'  ( y' ) писать x  ( y ). Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса .

Рассмотрим свойства эллипса.

Свойство 10.1. 

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Доказательство

Для определения точек пересечения эллипса с осью Ox нужно решить совместно два уравнения
Отсюда получим x  = ± a . Таким образом, точками пересечения эллипса с осью Ox будут точки A  ( a ; 0) и  C  (– a ; 0).

Аналогично, точки пересечения эллипса с осью Oy  –  B  (0;  b ) и  D  (0; – b ).

Точки A B C  и  D называются вершинами эллипса . Отрезок AC называется большой осью эллипса , отрезок BD малой осью . Числа a  и  b называют полуосями эллипса . Точки  и  где  называются фокусами эллипса .

Пусть M  ( x y ) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.
  Рассмотрим выражение

Здесь мы учли, что координаты ( x y ) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.

Величину  называют эксцентриситетом эллипса . Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку  то отсюда следует, что a  – ε x  > 0. Поэтому  

Свойство 10.2. 

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Доказательство

Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим

Свойство 10.3. 

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство

В уравнение эллипса переменные x  и  y входят только во второй степени, поэтому если точка  принадлежит эллипсу, то точки  и  также принадлежат ему, так как их координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Точка  симметрична точке M относительно оси Ox , а точка  – относительно Oy . Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая полуоси эллипса лежат на его осях симметрии.

Свойство 10.4.  Эллипс имеет центр симметрии.

Доказательство

Если координаты точки M  ( x y ) удовлетворяют уравнению эллипса, то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N  (– x ; – y ). Точка M симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии.

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса .

Свойство 10.5.  Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Доказательство

Пусть  – окружность с центром в начале координат и радиуса a . Тогда
Точке  на окружности сопоставим точку  такую, что
Точка  получается сдвигом точки P , при котором абцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношении Координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле,

Таким образом, эллипс можно получить из окружности равномерным сжатием к оси Ox , при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же соотношении, равном  Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения  чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и наоборот, чем больше отношение  тем эллипс будет менее сжатым.

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как
то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k .

Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений
Тогда
Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки A и прямой l , есть эксцентриситет эллипса.

Координаты точки  при переходе в новую систему будут равны:
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус  эллипса и поэтому совпадет с ним.

Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид  После замены системы координат получим новое уравнение прямой l
Обозначим  и покажем, что  Действительно,
Поскольку для эллипса ε < 1, то

Прямая x  = – d называется директрисой , соответствующей фокусу F 1 (-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x  =  d , которая является директрисой, соответствующей фокусу F 2 ( c ; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

Рисунок 10.8.1.