Вход через социальные сети

Эллипс и его свойства

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Albendazole | Internet Pharmacy Buy Online


Looking for a albendazole? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 86 14.02.2018 at 02:23 by hallowedmantisdfy
scientist Levitra | Find Diners Club Purchase


Looking for a levitra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 71 13.02.2018 at 00:01 by hallowedmantisdfy
scientist Crestor | Buy Cure Septicemia


Looking for a crestor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 150 12.02.2018 at 21:52 by hallowedmantisdfy
scientist Requip | India Acid Price 0


Looking for a requip? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 74 08.02.2018 at 20:44 by hallowedmantisdfy
scientist Tamoxifen | Low Price 10Mg Overnight


Looking for a tamoxifen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 80 07.02.2018 at 08:24 by hallowedmantisdfy
scientist Deltasone | To Buy Nosipren


Looking for a deltasone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 67 07.02.2018 at 06:31 by hallowedmantisdfy
scientist Nuvigil | Buy With Overnight Delivery


Looking for a nuvigil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 89 06.02.2018 at 12:31 by hallowedmantisdfy
scientist Armodafinil | Cost


Looking for a armodafinil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 170 23.01.2018 at 09:59 by hallowedmantisdfy
scientist Clozaril | Order Pharmaceutical Sale Pills


Looking for a clozaril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 164 23.01.2018 at 05:37 by hallowedmantisdfy
scientist Noroxin | Can I Purchase Indiana


Looking for a noroxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 184 21.01.2018 at 18:58 by hallowedmantisdfy
scientist Carafate | Order Online No Prescription


Looking for a carafate? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 216 20.01.2018 at 23:08 by hallowedmantisdfy
scientist Grifulvin | Price V Apotheke 5Mg


Looking for a grifulvin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 192 20.01.2018 at 09:47 by hallowedmantisdfy
scientist Revia | Buy Without A Rx


Looking for a revia? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 173 19.01.2018 at 17:25 by hallowedmantisdfy
scientist Ambien | Mail Order


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 287 18.01.2018 at 16:04 by hallowedmantisdfy
scientist Diclofenac | Where Can I Buy


Looking for a diclofenac? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 230 16.01.2018 at 20:39 by hallowedmantisdfy
scientist Toradol | Buy


Looking for a toradol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 221 16.01.2018 at 15:29 by hallowedmantisdfy
scientist Reglan | Purchase For Cats


Looking for a reglan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- hallowedmantisdfy 217 16.01.2018 at 08:29 by hallowedmantisdfy
Тема форума тригонометрия

...

1 / - leonidzilb 544 28.12.2017 at 00:45 by grigoriy
Тема форума модуль вектора в криволин координатах
Здравствуйте!
как найти модуль вектора, через его компоненты в криволинейных координатах?...
6 / - skarden 13 786 25.12.2017 at 09:46 by alfield37
Тема форума Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 2 105 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Тема форума Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 1 459 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 421 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 3 583 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 2 243 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 33 690 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
  • 156страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
тригонометрия

...

1 / - leonidzilb 544 28.12.2017 at 00:45 by grigoriy
модуль вектора в криволин координатах
Здравствуйте!
как найти модуль вектора, через его компоненты в криволинейных координатах?...
6 / - skarden 13 786 25.12.2017 at 09:46 by alfield37
Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 2 105 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 1 459 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 1 421 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 3 583 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 2 243 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 33 690 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 5 230 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 273 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 398 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 466 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 2 409 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 8 452 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 670 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 716 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 9 815 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 817 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 874 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 797 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 3 447 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 980 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 2 422 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 943 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 952 28.12.2016 at 20:55 by Albe
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:27
adminus
1 up down

Эллипс и его свойства


Глава 10. Декартовы координаты

10.8. Эллипс и его свойства

В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:
Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку  и повернув оси исходной системы на угол 90°.

В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:
или
В новой системе координат, которую называют канонической , уравнение эллипса имеет вид
при этом
то есть при k  < 1 получим, что a  >  b  > 0. В дальнейшем для удобства будем опускать знак "штрих" и будем вместо x'  ( y' ) писать x  ( y ). Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса .

Рассмотрим свойства эллипса.

Свойство 10.1. 

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Доказательство

Для определения точек пересечения эллипса с осью Ox нужно решить совместно два уравнения
Отсюда получим x  = ± a . Таким образом, точками пересечения эллипса с осью Ox будут точки A  ( a ; 0) и  C  (– a ; 0).

Аналогично, точки пересечения эллипса с осью Oy  –  B  (0;  b ) и  D  (0; – b ).

Точки A B C  и  D называются вершинами эллипса . Отрезок AC называется большой осью эллипса , отрезок BD малой осью . Числа a  и  b называют полуосями эллипса . Точки  и  где  называются фокусами эллипса .

Пусть M  ( x y ) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.
  Рассмотрим выражение

Здесь мы учли, что координаты ( x y ) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.

Величину  называют эксцентриситетом эллипса . Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку  то отсюда следует, что a  – ε x  > 0. Поэтому  

Свойство 10.2. 

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Доказательство

Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим

Свойство 10.3. 

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство

В уравнение эллипса переменные x  и  y входят только во второй степени, поэтому если точка  принадлежит эллипсу, то точки  и  также принадлежат ему, так как их координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Точка  симметрична точке M относительно оси Ox , а точка  – относительно Oy . Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая полуоси эллипса лежат на его осях симметрии.

Свойство 10.4.  Эллипс имеет центр симметрии.

Доказательство

Если координаты точки M  ( x y ) удовлетворяют уравнению эллипса, то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N  (– x ; – y ). Точка M симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии.

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса .

Свойство 10.5.  Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Доказательство

Пусть  – окружность с центром в начале координат и радиуса a . Тогда
Точке  на окружности сопоставим точку  такую, что
Точка  получается сдвигом точки P , при котором абцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношении Координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле,

Таким образом, эллипс можно получить из окружности равномерным сжатием к оси Ox , при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же соотношении, равном  Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения  чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и наоборот, чем больше отношение  тем эллипс будет менее сжатым.

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как
то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k .

Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений
Тогда
Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки A и прямой l , есть эксцентриситет эллипса.

Координаты точки  при переходе в новую систему будут равны:
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус  эллипса и поэтому совпадет с ним.

Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид  После замены системы координат получим новое уравнение прямой l
Обозначим  и покажем, что  Действительно,
Поскольку для эллипса ε < 1, то

Прямая x  = – d называется директрисой , соответствующей фокусу F 1 (-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x  =  d , которая является директрисой, соответствующей фокусу F 2 ( c ; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

Рисунок 10.8.1.