Вход через социальные сети

Понятие дифференциального уравнения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Вроде бы простая задача про треугольники, но как подступиться?
Подскажите как решить, плиз
"Равные прямоугольные треугольники ACB и AMB находятся по 1...
1 / - Antacid 2 138 05.11.2007 at 02:25 by Natrix
Тема форума неравенство c параметром
Здравствуйте!
Подскажите как определить все значения a, при которых неравенство выполняется...
1 / - Бубу 2 048 02.11.2007 at 19:09 by bot
Тема форума Уравнение!
Такс, вроде бы всёё не трудно, но ....И так, имеем вот такое уравнение
...
2 / - andrej163 2 567 02.11.2007 at 02:12 by andrej163
Тема форума Геометрия
Ну, c геометрией я на Вы (честно говоря не виновата, учитель такой был), a сейчас очень даже...
5 / - Tiala 3 367 31.10.2007 at 11:37 by bot
Тема форума ДРОБИ
Последовательно найдите значение каждой из разностей:
(1/2)-(1/3); (1/3)-(1/4); (1/4)-(1/5...
3 / - DmS 3 536 26.10.2007 at 16:54 by DmS
Тема форума Почти решенная задача...помогите до конца
вот такая задача
Найти все значения х для которых
(2-x)a^2 + (x^2 -2x+3)a-3x>> 0
...
4 / - ETNIES 4 210 26.10.2007 at 15:48 by bot
Тема форума Логарифмы
Подскажите пожалуйста, как доказать равенство
...
1 / - ARBUZ 2 241 23.10.2007 at 18:23 by bot
Тема форума Альтернатива калькулятору
Тыц

Доказать или...
3 / - a_l_e_x86 3 291 23.10.2007 at 01:58 by master
Тема форума параметры
Всерьез, сначала я долго думала как решить, ответов просто куча, но почему то пришла к выводу, что...
2 / - Tiala 2 814 22.10.2007 at 02:45 by Tiala
Тема форума Логарифмическое уравненьице
Здравствуйте уважаемые, не подскажите ли как решить уравнение
...
2 / - ARBUZ 2 762 21.10.2007 at 20:43 by ARBUZ
Тема форума несколько уравнений повышенной сложности.
1. Решить уравнение
...
8 / - Старик 5 795 21.10.2007 at 19:00 by a_l_e_x86
Тема форума Задача
Добрый день.

...имеем "n" информационных уровней (1,2,3,4,5,6,7,8,9..........n),...
7 / - Vova 3 960 20.10.2007 at 22:21 by Vova
Тема форума Алгебра, 9 класс, параметры
Помогите решить три задачки c параметрами( Очень нужно к завтрашнему дню(
1) (k-1)x^2 - 5x -...
12 / - Стразочка 8 786 20.10.2007 at 00:04 by Стразочка
Тема форума Геометрия
вершина пораболы лежит в точке (1; 0,5) составить ee уравнение. если известно, что ветви...
8 / - ETNIES 5 369 19.10.2007 at 18:53 by Брат
Тема форума Школьная олимпиада
Привет всем!
Подскажите,пожалуйста!

Задача.
Найти площадь параллелограмма,...
24 / - ita 12 361 19.10.2007 at 15:01 by ita
Тема форума Делимость
Докажите, что сумма натуральных чисел от 1 до 1000 делится на 143. Подскажите пожалуйста, никак не...
3 / - DmS 3 054 18.10.2007 at 20:04 by DmS
Тема форума планиметрия
помогите плз в решении 2 задач, решить не могу
1. B треугольнике ABC площадью 40см.кв....
1 / - mr.joker 2 557 18.10.2007 at 02:28 by AV_77
Тема форума проецирование
ОЧЕНЬ НУЖЕН [/u]ЧЕРТЁЖ для этой задачи:


Необходимо отобразить методом следа...
20 / - koskaolmi 9 590 18.10.2007 at 00:26 by koskaolmi
Тема форума Планиметрические задачи!
Вот одна из задач:

Дан треугольник ABC, на стороне AC взята точка E так, что AE:EC=a...
4 / - marshall 4 027 17.10.2007 at 22:40 by marshall
Тема форума проецирование
Необходимо отобразить методом следа пересечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, если даны...
21 / - koskaolmi 9 072 16.10.2007 at 13:36 by koskaolmi
Тема форума Задачка на среднее!
Средний рост мальчиков 11a больше среднего роста мальчиков 11б. Средний рост девочек 11a менньше...
5 / - andrej163 3 406 10.10.2007 at 23:35 by andrej163
Тема форума помогите решить задачу
...
6 / - koskaolmi 3 653 07.10.2007 at 19:58 by koskaolmi
Тема форума Точки в пространстве
Вот и моя задачка на доказательство c применением аксиом стереометрии и их следствий:

...
1 / - LifeStyle 2 276 01.10.2007 at 23:14 by AV_77
Тема форума графики функций
не могли бы вы вот эти два проверить?

a следующие два подсказать как выглядят.что-то ни...
8 / - Dasein 5 660 29.09.2007 at 01:15 by iii
Тема форума Супер-пупер-мегасложная система уравнений
Усе перепробовал, ну совсем никак......
4 / - Старик 3 429 28.09.2007 at 20:04 by Старик
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
простенький интеграл
Добрый вечер!
как взять его? до меня не доходит
...
- laplas 1 328 laplas
Range of f(x)
If ...
- jacks 1 677 jacks
нужно срочно сделать помогите контрольная!
Решить уравнения и неравенства
1) 2sinx-cos^2 x*sinx=0
2)1/cos^2 x-4=0
3)√...
- Gangster06 1 331 Gangster06
Решить задачку
сечение цилиндра паралельно его оси отсекает от окружности дугу в 120 градусов. Радиус цилиндра 6...
- mmmarsel1991 1 747 mmmarsel1991
Кодирование по методу Шеннона-Фано
Пусть задан алфавит c частотами
...
- eugrita 1 741 eugrita
Вычислить.
...
- Brest-rap2011 1 286 Brest-rap2011
Квадратное уравнение
He решая квадратного уравнения, определите, какое из них имеет корни (-3) и 2 ?
a) x²+x-...
- tsengma 1 415 tsengma
Тригонометрияhttp
1) 2 2
2cos x-7sin y
tgx=-...
- Настёна23 1 410 Настёна23
Задачка на Гомотетию
Здрасте!...
- Antacid 1 584 Antacid
Помогите решить примеры)
...
- Милаха 1 811 Милаха
задача по геометрии на тему призма
Здравствуйте, уважаемые форумчане! Помогите мне пожалуйста решить две простых задачи на тему...
- nicrolit 3 759 nicrolit
метрика в стереометрии
Люди,подскажите пожалуйсто,где мне поискать литературку на тему "метрические задачи на построение...
- karl-skram 1 852 karl-skram
Многочлены
[attachmentid=10241]помогите пожлуст 2 и 4 номер, очень надо но не могу ни чего сделать
- zheka91 1 502 zheka91
18.08.2014, 04:25
adminus
0 up down

Понятие дифференциального уравнения


Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.5. Простейшие дифференциальные уравнения

3.5.1. Понятие дифференциального уравнения

Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать:
ma  = – kv .

Так как ускорение – первая производная скорости,

В это уравнение входит неизвестная величина v и ее производная по времени

Рисунок 3.5.1.1.

Уравнения, подобные этому, нередко встречаются в физике, химии, экономике и других дисциплинах. Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка . Решением этого уравнения является произвольная функция y  =  y  ( x ), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

Чтобы его решить, нужно представить производную как домножить обе части уравнения на dx и проинтегрировать обе части получившегося уравнения:

Как видно, это уравнение имеет бесконечное количество решений, отличающихся друг от друга на постоянную C . Выбрать конкретное решение уравнения можно, если знать начальные условия, например, точку, через которую проходит график функции y  =  y  ( x ). Так, если известно, что
y  ( x 0 ) =  y 0, то подставляя это значение в общее решение получаем  откуда и
Это решение можно записать в виде .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y  =  y  ( x C 1 C 2,…,  C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n .

Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона)
не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения путем придания определенного значения постоянным C i .

График 3.5.1.1.

Рисунок 3.5.1.2.
Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий. Для этого по осям абсцисс и ординат откладывают, соответственно, саму величину и ее производную. Фазовые траектории могут выглядеть самым причудливым образом даже для линейных дифференциальных уравнений; траектории для уравнения  показаны на графике.

Наряду с частными существуют особые решения , которые нельзя получить из общего решения никакой подстановкой постоянных. Так, общим решением уравнения будет семейство функций y  = cos ( x  +  C ). Кроме того, это уравнение имеет два особых решения y  = 1 и y  = –1, в чем можно убедиться подстановкой. Графики особых решений в каждой точке касаются проходящего через эту точку частного решения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. К сожалению, класс таких уравнений крайне узок: так, второй закон Ньютона интегрируется только тогда, когда F является функцией только от одной из переменных t , x , Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко применяются приближенные и численные методы.

Во многих случаях приходится составлять дифференциальное уравнение, чтобы решить задачу. Рассмотрим несколько примеров.

  1. Рисунок 3.5.1.3. Реактивное движение. Ракета, начальная масса которой равна m 0, движется вдали от небесных тел за счет газовой струи, выбрасываемой в направлении, противоположном движению, со скоростью u относительно ракеты. Начальная скорость ракеты равна v 0. Необходимо получить зависимость скорости ракеты от ее массы.

    Запишем закон сохранения импульса. Пусть в некоторый момент времени t импульс ракеты равнялся mv . За бесконечно малый промежуток времени dt скорость ракеты увеличилась от v до v  +  dv , а масса уменьшилась от m до m  –  dm , и ракета увеличила свой импульс на выбросив назад dm топлива, импульс которого равен dm  ( v  –  u ) (здесь и далее уравнение записывается в проекции на ось движения, u  > 0). Получаем

    Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем Слагаемое dm  ·  dv бесконечно мало по сравнению с остальными слагаемыми, так как оно является произведением двух бесконечно малых величин; этим слагаемым можно пренебречь. Разделим обе части получившегося уравнения
    на dt :

    Это уравнение называется уравнением движения тела с переменной массой. Это дифференциальное уравнение.

  2. Истечение идеальной жидкости из сосуда.

    Рисунок 3.5.1.4.

    Пусть из сосуда с постоянной площадью поперечного сечения S через отверстие в дне площадью S 0 вытекает вода. Пренебрегая вязкостью, записать уравнение изменения уровня жидкости в сосуде h .

    Скорость v истечения жидкости из сосуда, уровень жидкости в котором равен h , равна
    (формула Торричелли). За бесконечно малый промежуток времени dt высота жидкости в сосуде уменьшается на dh . Этот же объем S   dh истекает через отверстие площадью S 0. Можно записать, что за время dt через отверстие протекает «столб» воды dx  =  v   dt . Таким образом (знак «минус» поставлен из-за того, что уровень воды в сосуде уменьшается). Таким образом,
    Это тоже дифференциальное уравнение.

Модель 3.16. Движение в воздушной среде.