Вход через социальные сети

Понятие дифференциального уравнения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотровсортировать по убыванию Последнее сообщение
Тема форума Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

- vladr 0 14.02.2016 at 15:25 by vladr
Тема форума Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 547 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Тема форума Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 816 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 978 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 006 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума Геометрическая интерпретация замены переменных
Допустим у нас есть некоторое уравнение от n переменных:
...
3 / - Doomere 1 068 23.09.2011 at 18:45 by Ian
Тема форума помогите..
Привет, помогите пожалуйста решить задачи.. у меня 2 задачки я никак c ними немогу разобратся...
1 / - maserati1 1 070 06.12.2010 at 19:00 by AV_77
Тема форума Уравнение
...
1 / - JeffLebovski 1 071 06.06.2011 at 09:57 by Sonic86
Тема форума ООФ графика
ООф есть от -бесконечности до 1 у функции
...
- marin 1 071 marin
Тема форума Тригонометрия
Это было так давно)

Найти ...
1 / - hoolie 1 071 15.06.2010 at 13:15 by YURI
Тема форума Подкоренное значения 2?
Помогите найти подкоренное 2 .... Наиболее приближенно c помощью формул.. плиз..
1 / - R1chard 1 072 19.04.2011 at 21:14 by mihailm
Тема форума Пожалуйста помогите c геометрией!
1.B куб c ребром, равным a, писан шар. Затем в один из трехгранных углов при вершине куба вписан...
- ArdorSpiro 1 072 ArdorSpiro
Тема форума Задачки
1)B треугольнике провели серединный перпендикуляр к стороне . Он пересекается co стороной в точке...
1 / - ToFery 1 072 23.01.2011 at 12:08 by Troll1984
Тема форума Пример на комплексные числа
Помогите пожалуйста решить пример, очень нужно, a в комплексных числах я не силён.
Суть...
- Взломщик 1 072 Взломщик
Тема форума доказать
...
- tamerlan777 1 072 tamerlan777
Тема форума ЗАДАЧИ
Я в рисунке совсем запуталась, не знаю уже что и делать. B общем помогите пожалуйста, кто может, c...
1 / - Tomaro 1 073 10.04.2010 at 00:37 by AV_77
Тема форума Задача на построение.
Пусть даны вещественные числа ...
1 / - Ellipsoid 1 073 16.05.2011 at 22:27 by ALEX165
Тема форума Модули
Найти все х при которых модуль суммы чисел ...
1 / - k1ng1232 1 073 03.06.2009 at 14:28 by Pyotr
Тема форума Цилиндр...
Высота - 12 м. Радиус основания - 10 м. Найти площадь его сечения плоскостью, которая параллельна...
1 / - Mr.IL 1 074 26.01.2011 at 20:37 by Mr.IL
Тема форума Тетраэдр
Добрый вечер, уважаемые форумчане! Я решила очень лёгкую задачу, но всё равно меня одолевают...
2 / - musika 1 074 26.10.2011 at 23:54 by musika
Тема форума тяжело(
...
- kryasan4ik 1 074 kryasan4ik
Тема форума Задача на делимость чисел.
...
1 / - IQDDD 1 074 17.04.2011 at 01:31 by Ian
Тема форума Помогите c задачей по геометрии!
Задача: Вравнобедренном треугольнике медиана к боковой стороне равна три корня из двух и образует...
- mvm 1 074 mvm
Тема форума теорема Ферма
Г.И. ОВЧИННИКОВ " ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ СТЕПЕНИ n=3 "
...
- gena ovchinnikov 1 074 gena ovchinnikov
Тема форума Доказать равенство
Пусть r,s,t-...
- JeffLebovski 1 074 JeffLebovski
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотровсортировать по убыванию Последнее сообщение
Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

- vladr 0 14.02.2016 at 15:25 by vladr
Решительно пожалуйсто

В первом ведре в 4 раза больше воды чем ва втором,а в 3  ведре как во втором и первом вместе,...

11 / - chernyack.tatiana 547 08.12.2017 at 16:45 by grigoriy
Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 816 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 978 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 1 006 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Геометрическая интерпретация замены переменных
Допустим у нас есть некоторое уравнение от n переменных:
...
3 / - Doomere 1 068 23.09.2011 at 18:45 by Ian
помогите..
Привет, помогите пожалуйста решить задачи.. у меня 2 задачки я никак c ними немогу разобратся...
1 / - maserati1 1 070 06.12.2010 at 19:00 by AV_77
Уравнение
...
1 / - JeffLebovski 1 071 06.06.2011 at 09:57 by Sonic86
ООФ графика
ООф есть от -бесконечности до 1 у функции
...
- marin 1 071 marin
Тригонометрия
Это было так давно)

Найти ...
1 / - hoolie 1 071 15.06.2010 at 13:15 by YURI
Подкоренное значения 2?
Помогите найти подкоренное 2 .... Наиболее приближенно c помощью формул.. плиз..
1 / - R1chard 1 072 19.04.2011 at 21:14 by mihailm
Пожалуйста помогите c геометрией!
1.B куб c ребром, равным a, писан шар. Затем в один из трехгранных углов при вершине куба вписан...
- ArdorSpiro 1 072 ArdorSpiro
Задачки
1)B треугольнике провели серединный перпендикуляр к стороне . Он пересекается co стороной в точке...
1 / - ToFery 1 072 23.01.2011 at 12:08 by Troll1984
Пример на комплексные числа
Помогите пожалуйста решить пример, очень нужно, a в комплексных числах я не силён.
Суть...
- Взломщик 1 072 Взломщик
доказать
...
- tamerlan777 1 072 tamerlan777
ЗАДАЧИ
Я в рисунке совсем запуталась, не знаю уже что и делать. B общем помогите пожалуйста, кто может, c...
1 / - Tomaro 1 073 10.04.2010 at 00:37 by AV_77
Задача на построение.
Пусть даны вещественные числа ...
1 / - Ellipsoid 1 073 16.05.2011 at 22:27 by ALEX165
Модули
Найти все х при которых модуль суммы чисел ...
1 / - k1ng1232 1 073 03.06.2009 at 14:28 by Pyotr
Цилиндр...
Высота - 12 м. Радиус основания - 10 м. Найти площадь его сечения плоскостью, которая параллельна...
1 / - Mr.IL 1 074 26.01.2011 at 20:37 by Mr.IL
Тетраэдр
Добрый вечер, уважаемые форумчане! Я решила очень лёгкую задачу, но всё равно меня одолевают...
2 / - musika 1 074 26.10.2011 at 23:54 by musika
тяжело(
...
- kryasan4ik 1 074 kryasan4ik
Задача на делимость чисел.
...
1 / - IQDDD 1 074 17.04.2011 at 01:31 by Ian
Помогите c задачей по геометрии!
Задача: Вравнобедренном треугольнике медиана к боковой стороне равна три корня из двух и образует...
- mvm 1 074 mvm
теорема Ферма
Г.И. ОВЧИННИКОВ " ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ СТЕПЕНИ n=3 "
...
- gena ovchinnikov 1 074 gena ovchinnikov
Доказать равенство
Пусть r,s,t-...
- JeffLebovski 1 074 JeffLebovski
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:25
adminus
0 up down

Понятие дифференциального уравнения


Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.5. Простейшие дифференциальные уравнения

3.5.1. Понятие дифференциального уравнения

Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать:
ma  = – kv .

Так как ускорение – первая производная скорости,

В это уравнение входит неизвестная величина v и ее производная по времени

Рисунок 3.5.1.1.

Уравнения, подобные этому, нередко встречаются в физике, химии, экономике и других дисциплинах. Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка . Решением этого уравнения является произвольная функция y  =  y  ( x ), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

Чтобы его решить, нужно представить производную как домножить обе части уравнения на dx и проинтегрировать обе части получившегося уравнения:

Как видно, это уравнение имеет бесконечное количество решений, отличающихся друг от друга на постоянную C . Выбрать конкретное решение уравнения можно, если знать начальные условия, например, точку, через которую проходит график функции y  =  y  ( x ). Так, если известно, что
y  ( x 0 ) =  y 0, то подставляя это значение в общее решение получаем  откуда и
Это решение можно записать в виде .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y  =  y  ( x C 1 C 2,…,  C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n .

Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона)
не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения путем придания определенного значения постоянным C i .

График 3.5.1.1.

Рисунок 3.5.1.2.
Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий. Для этого по осям абсцисс и ординат откладывают, соответственно, саму величину и ее производную. Фазовые траектории могут выглядеть самым причудливым образом даже для линейных дифференциальных уравнений; траектории для уравнения  показаны на графике.

Наряду с частными существуют особые решения , которые нельзя получить из общего решения никакой подстановкой постоянных. Так, общим решением уравнения будет семейство функций y  = cos ( x  +  C ). Кроме того, это уравнение имеет два особых решения y  = 1 и y  = –1, в чем можно убедиться подстановкой. Графики особых решений в каждой точке касаются проходящего через эту точку частного решения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. К сожалению, класс таких уравнений крайне узок: так, второй закон Ньютона интегрируется только тогда, когда F является функцией только от одной из переменных t , x , Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко применяются приближенные и численные методы.

Во многих случаях приходится составлять дифференциальное уравнение, чтобы решить задачу. Рассмотрим несколько примеров.

  1. Рисунок 3.5.1.3. Реактивное движение. Ракета, начальная масса которой равна m 0, движется вдали от небесных тел за счет газовой струи, выбрасываемой в направлении, противоположном движению, со скоростью u относительно ракеты. Начальная скорость ракеты равна v 0. Необходимо получить зависимость скорости ракеты от ее массы.

    Запишем закон сохранения импульса. Пусть в некоторый момент времени t импульс ракеты равнялся mv . За бесконечно малый промежуток времени dt скорость ракеты увеличилась от v до v  +  dv , а масса уменьшилась от m до m  –  dm , и ракета увеличила свой импульс на выбросив назад dm топлива, импульс которого равен dm  ( v  –  u ) (здесь и далее уравнение записывается в проекции на ось движения, u  > 0). Получаем

    Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем Слагаемое dm  ·  dv бесконечно мало по сравнению с остальными слагаемыми, так как оно является произведением двух бесконечно малых величин; этим слагаемым можно пренебречь. Разделим обе части получившегося уравнения
    на dt :

    Это уравнение называется уравнением движения тела с переменной массой. Это дифференциальное уравнение.

  2. Истечение идеальной жидкости из сосуда.

    Рисунок 3.5.1.4.

    Пусть из сосуда с постоянной площадью поперечного сечения S через отверстие в дне площадью S 0 вытекает вода. Пренебрегая вязкостью, записать уравнение изменения уровня жидкости в сосуде h .

    Скорость v истечения жидкости из сосуда, уровень жидкости в котором равен h , равна
    (формула Торричелли). За бесконечно малый промежуток времени dt высота жидкости в сосуде уменьшается на dh . Этот же объем S   dh истекает через отверстие площадью S 0. Можно записать, что за время dt через отверстие протекает «столб» воды dx  =  v   dt . Таким образом (знак «минус» поставлен из-за того, что уровень воды в сосуде уменьшается). Таким образом,
    Это тоже дифференциальное уравнение.

Модель 3.16. Движение в воздушной среде.