Вход через социальные сети

Понятие дифференциального уравнения

Тип Название темы Ответовсортировать по убыванию Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума краевая задача, метод наименьших квадратов
Здравствуйте. Мне необходимо реализовать решение краевой задачи для диф. уравнения методом...
- carlos0n 1 978 carlos0n
Теоретическая статья Разложение выражений на множители

Разложение выражений на множители

...
- adminus 61 338 18.08.2014 at 04:18 by adminus
Теоретическая статья Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

...
- adminus 33 015 18.08.2014 at 04:23 by adminus
Теоретическая статья Окружность Аполлония

Окружность Аполлония

...
- adminus 32 390 18.08.2014 at 04:27 by adminus
Теоретическая статья Метод Гаусса

Метод Гаусса

- adminus 30 584 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Тема форума логарифмы
...
- UMNICHKA 1 822 UMNICHKA
Тема форума Координаты в пространстве
Вот тут 8 задачек которые я не могу ника решить ребята помогите пожалуйста!

только...
- headlong 1 806 headlong
Теоретическая статья Математика

Математика

Математик, который не...
- adminus 187 616 18.08.2014 at 04:13 by adminus
Теоретическая статья Системы координат - adminus 34 387 18.08.2014 at 04:21 by adminus
Теоретическая статья Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник

...
- adminus 67 199 18.08.2014 at 04:25 by adminus
Теоретическая статья Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

...
- adminus 39 329 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Тема форума Интересная задача
Найти все значения х для которых

...
- ETNIES 2 272 ETNIES
Тема форума 3 задачи на решение
Ребят помогите с решением 3 задач, немогу понять откуда корни ростут, я заочник и этих тем нам не...
- beznavorotov 1 532 beznavorotov
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- adminus 94 506 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Вектор-функции

Вектор-функции

...
- adminus 29 656 18.08.2014 at 04:24 by adminus
Теоретическая статья Базис. Общая декартова система координат

Базис. Общая декартова система координат

...
- adminus 42 760 18.08.2014 at 04:28 by adminus
Теоретическая статья Преобразование уравнений при изменении координат - adminus 25 815 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Тема форума Сумма 2011-ых степеней
Существуют ли 11...
- Xenia1996 1 574 Xenia1996
Теоретическая статья Десятичные дроби

Десятичные дроби

...
- adminus 50 691 18.08.2014 at 04:15 by adminus
Теоретическая статья Асимптоты

Асимптоты

...
- adminus 29 744 18.08.2014 at 04:22 by adminus
Теоретическая статья Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества

...
- adminus 37 712 18.08.2014 at 04:26 by adminus
Теоретическая статья Построения на изображениях

Построения на изображениях

...
- adminus 28 443 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Уравнение и его корни

Квадратное уравнение

...

- adminus 38 978 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Обратная функция

Обратная функция

...
- adminus 33 805 18.08.2014 at 04:22 by adminus
Теоретическая статья Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса некоторых углов

Вычисление значений синуса, косинуса и тангенса некоторых углов

...
- adminus 63 898 18.08.2014 at 04:26 by adminus
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответовсортировать по убыванию Автор Просмотров Последнее сообщение
краевая задача, метод наименьших квадратов
Здравствуйте. Мне необходимо реализовать решение краевой задачи для диф. уравнения методом...
- carlos0n 1 978 carlos0n
логарифмы
...
- UMNICHKA 1 822 UMNICHKA
Координаты в пространстве
Вот тут 8 задачек которые я не могу ника решить ребята помогите пожалуйста!

только...
- headlong 1 806 headlong
Интересная задача
Найти все значения х для которых

...
- ETNIES 2 272 ETNIES
3 задачи на решение
Ребят помогите с решением 3 задач, немогу понять откуда корни ростут, я заочник и этих тем нам не...
- beznavorotov 1 532 beznavorotov
Сумма 2011-ых степеней
Существуют ли 11...
- Xenia1996 1 574 Xenia1996
Решить задачку
сечение цилиндра паралельно его оси отсекает от окружности дугу в 120 градусов. Радиус цилиндра 6...
- mmmarsel1991 1 742 mmmarsel1991
найти мин. и макс. значение выражения
Найти мин. и макс. значение выражения:
Sin(a) + cos(a)

Подскажите пожалуйста как...
- Racer 1 732 Racer
Задачи по стереометрии - оплачиваемые
...
- Руслан111 1 822 Руслан111
Бесконечно ли много квадратов в последовательности?
Дана последовательность натуральных чисел:
...
- Xenia1996 1 662 Xenia1996
Интересная последовательность
Дана последовательность
...
- Xenia1996 1 601 Xenia1996
Тригонометрические неравенства
...
- ольгаша 1 735 ольгаша
Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике курс 1 [оплата]
Требуется помощь на контрольных работах по высшей математике 1 курс.

Контрольная...
- DumBiK 1 706 DumBiK
Геоетрия 8 кл
B равнобедренном треугольнике ABC c основанием AC медианы пересекаются в точке O. Найти площадь...
- мама 1 822 мама
Помогите пожалуйста c алгеброй)
2вс-в^2-c^2+a^2 / 2bc

^ этим сзнаком степень числа обозначена!

/ - дробная...
- Yuliya_Onischenko 1 630 Yuliya_Onischenko
подскажите пожалуйста как решить
найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 4cosx*cos2x...
- tanya611 1 755 tanya611
Геометрия!
Здравствуйте, Уважаемые Форумчане!!!!...
- vmamcev 2 092 vmamcev
Помогите Пожалуйста!
Найти значения параметров a и d. при которых прямая
x=3 + 4t
y= 1 +4t
z=-3 + t...
- Вася 305 1 630 Вася 305
задача
Pacстояние между селами A и B Равно 150 км. Из села A в Село B одновременно выезжают две машины....
- tanya611 1 641 tanya611
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 1 560 05.02.2015 at 09:24 by a_gaini_r
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 676 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Range of f(x)
If ...
- jacks 1 674 jacks
задачки по геометрии
Может, кто-то сможет помочь c задачкой на двугранные углы:

1) У правильной треугольной...
- mat-maniak 2 205 mat-maniak
Ребят, помогите пожалуйста c тригонометрией
Всем приветик)) помогите пожалуйста c двумя заданиями))
1.Найти значение выражения: ctg20+...
- shiba 1 707 shiba
Преобразовать выражение
Пожалуйста помогите преобразовать выражение, полученное мною после дифференцирования arcsin(...)
- DefendeR 1 376 DefendeR
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:25
adminus
0 up down

Понятие дифференциального уравнения


Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.5. Простейшие дифференциальные уравнения

3.5.1. Понятие дифференциального уравнения

Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать:
ma  = – kv .

Так как ускорение – первая производная скорости,

В это уравнение входит неизвестная величина v и ее производная по времени

Рисунок 3.5.1.1.

Уравнения, подобные этому, нередко встречаются в физике, химии, экономике и других дисциплинах. Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка . Решением этого уравнения является произвольная функция y  =  y  ( x ), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

Чтобы его решить, нужно представить производную как домножить обе части уравнения на dx и проинтегрировать обе части получившегося уравнения:

Как видно, это уравнение имеет бесконечное количество решений, отличающихся друг от друга на постоянную C . Выбрать конкретное решение уравнения можно, если знать начальные условия, например, точку, через которую проходит график функции y  =  y  ( x ). Так, если известно, что
y  ( x 0 ) =  y 0, то подставляя это значение в общее решение получаем  откуда и
Это решение можно записать в виде .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y  =  y  ( x C 1 C 2,…,  C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n .

Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона)
не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения путем придания определенного значения постоянным C i .

График 3.5.1.1.

Рисунок 3.5.1.2.
Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий. Для этого по осям абсцисс и ординат откладывают, соответственно, саму величину и ее производную. Фазовые траектории могут выглядеть самым причудливым образом даже для линейных дифференциальных уравнений; траектории для уравнения  показаны на графике.

Наряду с частными существуют особые решения , которые нельзя получить из общего решения никакой подстановкой постоянных. Так, общим решением уравнения будет семейство функций y  = cos ( x  +  C ). Кроме того, это уравнение имеет два особых решения y  = 1 и y  = –1, в чем можно убедиться подстановкой. Графики особых решений в каждой точке касаются проходящего через эту точку частного решения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. К сожалению, класс таких уравнений крайне узок: так, второй закон Ньютона интегрируется только тогда, когда F является функцией только от одной из переменных t , x , Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко применяются приближенные и численные методы.

Во многих случаях приходится составлять дифференциальное уравнение, чтобы решить задачу. Рассмотрим несколько примеров.

  1. Рисунок 3.5.1.3. Реактивное движение. Ракета, начальная масса которой равна m 0, движется вдали от небесных тел за счет газовой струи, выбрасываемой в направлении, противоположном движению, со скоростью u относительно ракеты. Начальная скорость ракеты равна v 0. Необходимо получить зависимость скорости ракеты от ее массы.

    Запишем закон сохранения импульса. Пусть в некоторый момент времени t импульс ракеты равнялся mv . За бесконечно малый промежуток времени dt скорость ракеты увеличилась от v до v  +  dv , а масса уменьшилась от m до m  –  dm , и ракета увеличила свой импульс на выбросив назад dm топлива, импульс которого равен dm  ( v  –  u ) (здесь и далее уравнение записывается в проекции на ось движения, u  > 0). Получаем

    Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем Слагаемое dm  ·  dv бесконечно мало по сравнению с остальными слагаемыми, так как оно является произведением двух бесконечно малых величин; этим слагаемым можно пренебречь. Разделим обе части получившегося уравнения
    на dt :

    Это уравнение называется уравнением движения тела с переменной массой. Это дифференциальное уравнение.

  2. Истечение идеальной жидкости из сосуда.

    Рисунок 3.5.1.4.

    Пусть из сосуда с постоянной площадью поперечного сечения S через отверстие в дне площадью S 0 вытекает вода. Пренебрегая вязкостью, записать уравнение изменения уровня жидкости в сосуде h .

    Скорость v истечения жидкости из сосуда, уровень жидкости в котором равен h , равна
    (формула Торричелли). За бесконечно малый промежуток времени dt высота жидкости в сосуде уменьшается на dh . Этот же объем S   dh истекает через отверстие площадью S 0. Можно записать, что за время dt через отверстие протекает «столб» воды dx  =  v   dt . Таким образом (знак «минус» поставлен из-за того, что уровень воды в сосуде уменьшается). Таким образом,
    Это тоже дифференциальное уравнение.

Модель 3.16. Движение в воздушной среде.