Вход через социальные сети

Общие приёмы решения уравнений

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 664 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 871 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 089 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 415 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 081 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 145 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 928 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 030 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 068 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 761 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 6 766 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 301 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 314 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 7 861 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 450 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 248 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 235 07.02.2017 at 19:58 by musiс4musiс71
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 767 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 582 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 927 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 558 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 358 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 419 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 177 19.12.2016 at 12:22 by musiс4musiс71
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 860 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 664 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 871 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 089 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 415 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 081 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 145 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 928 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 030 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 068 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 761 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 6 766 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 301 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 314 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 7 861 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 450 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 248 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 235 07.02.2017 at 19:58 by musiс4musiс71
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 767 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 582 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 927 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 558 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 358 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 419 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 177 19.12.2016 at 12:22 by musiс4musiс71
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 860 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:34
adminus
0 up down

Решение уравнения

Решение уравнения – это процесс, состоящий главным образом в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием.

Думаю, имеет смысл остановиться на самом уравнении. Обычно, в записи уравнения участвуют цифры и буквы латинского алфавита (a,b,c,d,x,y...). Что обозначают эти буквы? Оказывается, любые цифры, то есть числа. В связи с этим возникает вопрос: для чего использовать конкретные числа в исходном уравнении, если все буквы и так представляют собой любые числа? Наверное, чтобы запутать детей, пытающихся решить уравнение. Единственным внятным объяснением наличия цифр в дополнение к буквам можно считать появление их в результате преобразований при сложении одинаковых буквенных слагаемых. В этом случае цифры появляются для упрощения записи уравнения. Итак, с буквами и цифрами понятно — это одно и то же, только буквы являются более широким понятием и каждая буква в уравнении подразумевает, что на её месте может быть любое число.

Следует, также, помнить, что любая буква представляет собой только одно значение в этом уравнении. То есть буква не может в одном слагаемом иметь, например, значение 5, а в другом месте того же уравнения значение 2. Может быть это кому-то и очевидно прямо с детства, но большинству — нет.

Далее, надо вспомнить или выучить два основных правила арифметики:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется (для любого количесва слагаемых), то есть: a+b+c=a+c+b=c+a+b=b+c+a

От перемены мест сомножителей произведение не меняется (для любого количесва сомножителей), то есть: abc=acb=cab=bca. Обычно, в математике знак умножения обозначается либо точкой, либо не обозначается вообще. Если две цифры подряд обозначают одно двузначное число, то две буквы подряд обозначают произведение этих двух букв, то есть тех двух любых чисел, которые могут стоять на месте букв. Эти числа могут быть и двузначные и трёхзначные и стозначные, не играет роли. Эти числа могут быть как положительные, так и отрицательные.

Следующий важный момент — каждое слагаемое в уравнении имеет знак плюс или минус. Перед первым слагаемым, обычно, знака нет. Это значит, что знак плюс. Если знак минус, то он указывается явно.

Например: abc-dc=-dc+abc.

Это очень важно при раскрытии скобок и при переносе слагаемых на другую (относительно знака равенства) сторону уравнения.

Далее, правила приведения подобных. Если в уравнении есть одинаковые слагаемые выражения, то их можно и нужно складывать или вычитать.

Напрмер:

ab+ba=ba+ab=ab+ab=ba+ba=2ab=2ba

ab-ba=ba-ab=ab-ab=ba-ba=0

Количество сомножителей в каждом слагаемом может быть любым, включая цифры.

На основании этих правил выполняются тождественные преобразования уравнения.


Перенос слагаемых (выражений) уравнения

Перенос слагаемых (выражений) уравнения с одной стороны равенства в другую (относительно знака равенства) выполняется с противоположными знаками. То есть знак плюс надо сменить на минус, а минус на плюс. Если перед первым слагаемым знака нет, то знак считается плюсом. Если при этом слагаемых на одной из сторон не осталось, то это значит, что та сторона равна нулю, это так и записывают. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »:

25x^2+30x+9=12x+25

25x^2+30x+9-12x-25=0

после приведения подобных получим:

25x^2+(30-12)x+(9-25)=0

25x^2+18x-16=0



Раскрытие скобок

Как раскрыть произведение двух выражений, каждое из которых заключено в скобки? Для этого надо поочерёдно все слагаемые в первых скобках умножить на все слагаемые во вторых скобках. Можно и наоборот, но главное в этом деле выработать для себя методику, чтобы не пропустить пары перемножаемых слагаемых. В результате раскрытия скобок получим сумму произведений выражений, стоявших ранее в скобках.

Например: (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd.

Здесь мы брали последовательно по одному слагаемые из вторых скобок и перемножали на все слагаемые из первых скобок, то есть, сначала (a+b) умножили на «с», а затем (a+b) умножили на «-d». Обратите внимание, что «-d» взяли вместе с его знаком, как и «+с». Можно было перемножать наоборот, то есть брать слагаемые из первых скобок и умножать на все слагаемые заключённые во вторые скобки. Результат от этого не изменился бы: (a+b)(c-d)=ac-ad+bc-bd.

Вместо каждой буквы в этом примере может стоять произведение из любого количества букв и цифр, правила от этого не меняются. Если в скобках находится другое количество слагаемых — от этого принцип тоже не меняется: поочерёдно все слагаемые одной скобки умножаем на слагаемые другой скобки.

Например:

(4ad+3cy)(2sk-3fg-5hq)=4ad2sk+3cy2sk-4ad3fg-3cy3fg-4ad5hq-3cy5hq.

Теперь можем перемножить цифры во всех слагаемых выражениях:

4ad2sk+3cy2sk-4ad3fg-3cy3fg-4ad5hq-3cy5hq=8adsk+6cysk-12adfg-9cyfg-20adhq-15cyhq

Таким образом можно раскрыть скобки в каждой половине уравнения. В примере сознательно все буквы выбраны разные, чтобы показать принцип. Если буквы одинаковые, то они перемножаются так же, но в результате записываются разными степенями (в зависимости от количества умножений).

Для выражений в скобках без произведения скобки можно просто убрать, при этом у каждого слагаемого, заключённого ранее в скобки, может измениться только знак. Если перед скобкой стоял знак плюс, то знак всех слагаемых не меняется, если стоял минус — тогда знаки всех слагаемых надо сменить на противоположные, то есть плюс сменить на минус, а минус на плюс. Например: (a+b)-(c-d)+(-g+f)=a+b-c+d-g+f

Ну вот, теперь можно перейти непосредственно к уравнениям.

Например, уравнение (5x+3)^2=12x+25 можно заменить следующим равносильным: 25x^2+30x+9=12x+25 .

Здесь мы просто раскрыли скобки по общей формуле

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=aa+ba+ab+bb=a^2+2ab+b^2

Если взять конкретно пример, то имеем

(5x+3)^2=(5x+3)(5x+3)=5x*5x+3*5x+5x*3+3*3=25x^2+15x+15x+9=25x^2+30x+9

Здесь «*» обозначает знак умножения


Умножение или деление обеих частей уравнения

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так обе часть нового уравнения станут равны нулю при умножении на ноль обеих частей уравнения. Делить же на ноль вообще нельзя, поскольку результатом такого деления будет бесконечность. В компьютерах такая операция приводит к переполнению разрядной сетки.

Пример: Уравнение x–1=0 имеет единственный корень x=1.

Умножим обе его части на x–3, мы получим уравнение

(x–1)(x–3)=0, у которого два корня: x=1 и x=3.

Последнее значение не является корнем заданного уравнения

x–1=0. Это, так называемый, посторонний корень. Он появился потому, что таким умножением превратили линейное уравнение в квадратичное. Таких операций делать не следует, посколько увеличение показателя степени обычно увеличивает неопределённость, то есть увеличивает количество возможных решений.

И наоборот, деление может привести к потере корня.

Так в нашем случае, если (x–1)(x–3)=0 является исходным уравнением,

то корень x=3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x–3.

В 9x^2-3x-6=0 уравнении мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

3x^2-x-2=0

Исходное уравнение:

(3x+2)^2=15x+10

Раскроем скобки в левой части:

9x^2+12x+4=15x+10

Перенесём слагаемые правой части в левую часть со сменой знака на противоположный:

9x^2+12x+4-15x-10=0

Приведём подобные:

9x^2+(12-15)x+(4-10)=0

9x^2-3x-6=0

Теперь можем все слагаемые разделить на 3:

3x^2-x-2=0

Это уравнение равносильно исходному:

(3x+2)^2=15x+10




Возведение в степень(извлечение корня) уравнения

Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени.

Необходимо помнить, что:

возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;

неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

Примеры. Уравнение 7x=35 имеет единственный корень x=5.

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение:

49x^2=1225

имеющее два корня: x=5 и x=–5.

Последнее значение является посторонним корнем.

Это был пример того, как делать не надо.)))))


Теперь представим, что наше исходное правильное уравнение:

49x^2=1225

Это уже совсем другой пример, не связанный с первым, хоть и числа используются те же.

Неправильное извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

49x^2=1225

даёт в результате

7x=35,

и мы теряем корень x=–5 — так делать нельзя.

Правильное извлечение квадратного корня приводит к уравнению: |7x|=35, а следовательно, к двум случаям:

7x=35, тогда x=5;

7x=35, тогда x=–5.

Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения.

Что значит правильно извлечь корень? Это значит, учитывая знак. В чётной степени и положительное и отрицательное число даёт положительный результат.