Вход через социальные сети

Корни многочлена

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 686 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 881 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 116 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 435 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 195 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 176 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 935 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 039 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 077 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 769 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 6 775 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 308 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 324 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 7 891 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 459 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 257 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 254 07.02.2017 at 19:58 by musiс4musiс71
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 778 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 591 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 938 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 569 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 372 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 431 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 185 19.12.2016 at 12:22 by musiс4musiс71
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 866 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Добрый день, помогите решить задачу по математике за 5 клас)

Есть 49 коробок цветных карандашей. В коробках с одним количеством карандашей вмещается 228...

6 / - serkismog 686 10.10.2017 at 20:45 by blandux
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 881 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 2 116 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 1 435 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 31 195 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 4 176 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 935 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 1 039 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 1 077 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 769 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 6 775 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 1 308 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 324 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 7 891 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 459 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 2 257 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 2 254 07.02.2017 at 19:58 by musiс4musiс71
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 778 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 591 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 938 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 569 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 2 372 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 2 431 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 2 185 19.12.2016 at 12:22 by musiс4musiс71
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 866 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:16
adminus
0 up down

Корни многочлена

Корни многочлена

Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто.

Рассмотрим многочлен
где a 1 a 2, ...,  a n − целые числа, a n  ≠ 0.

Теорема о рациональных корнях многочлена

Если многочлен
с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Доказательство
 

Действительно, если число является корнем многочлена то а именно:
Умножим обе части этого уравнения на получим:
Так как − целые числа, то в скобке стоит целое число. Значит, вся правая часть этого равенства делится на q , так как q входит в неё в качестве сомножителя. А значит и левая часть тождества делится на q , так как она равна правой. Число p не делится на q , так как иначе дробь была бы сократимой, значит и не делится на q . Следовательно, на q делится единственный из оставшихся сомножителей левой части, а именно Аналогично доказывается, что делится на p . Теорема доказана.

Замечание. Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a .

Пример 1

Разложить на множители многочлен x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16.

Показать решение

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16 = ( x  – 2) Q ( x ), где Q ( x ) − многочлен второй степени. Следовательно, многочлен разлагается на множители, один из которых ( x  – 2). Для поиска вида многочлена Q ( x ) воспользуемся так называемой схемой Горнера . Основным преимуществом этого метода является компактность записи и возможность быстрого деления многочлена на двучлен. По сути, схема Горнера является другой формой записи метода группировки, хотя, в отличие от последнего, является совершенно ненаглядной. Ответ (разложение на множители) тут получается сам собой, и мы не видим самого процесса его получения. Мы не будем заниматься строгим обоснованием схемы Горнера, а лишь покажем, как она работает.

1 −5 −2 16 2 1 −3 −8 0 В прямоугольную таблицу 2 × ( n  + 2) , где n − степень многочлена, (см. рис.) в верхнюю строчку выписываются подряд коэффициенты многочлена (левый верхний угол при этом оставляют свободным). В нижний левый угол записывают число − корень многочлена (или число x 0, если мы хотим разделить на двучлен ( x  –  x 0 )), в нашем примере это число 2. Далее вся нижняя строчка таблицы заполняется по следующему правилу.

Во вторую клетку нижней строки «сносится» число из клетки над ней, то есть 1. Затем поступают так. Корень уравнения (число 2) умножают на последнее написанное число (1) и складывают результат с числом, которое стоит в верхнем ряду над следующей свободной клеткой, в нашем примере имеем:
2 ∙ 1 + (–5) = –3. Результат записывается в свободную клетку под тем числом, с которым только что производилось сложение, то есть под −5.

Далее корень 2 умножается на последнюю написанную цифру, то есть на −3, и складывается с числом, которое стоит в верхнем ряду над следующей свободной клеткой, то есть −2; имеем:
2 ∙ (–3) + (–2) = –8. Результат пишем в свободную клетку под −2. Далее поступаем аналогично:
2 ∙ (–8) + 16 = 0. В последней клетке (правый нижний угол), если нигде не совершено ошибки и 2 − действительно корень данного многочлена, должен получиться нуль. Это признак правильного решения. В общем случае в этой клетке оказывается остаток от деления исходного многочлена на ( x  – 2) (в нашем примере). У нас получился 0, следовательно, 2 − действительно корень этого многочлена.

Полученные числа 1, −3, −8 являются коэффициентами многочлена, который получается при делении исходного многочлена на x  – 2. Значит, результат деления:
1 ·  x 2  + (–3) x  + (–8) =  x 2  – 3 x  – 8. Степень многочлена, полученного в результате деления, всегда на 1 меньше, чем степень исходного. Итак:
x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16 = ( x  – 2)( x 2  – 3 x  – 8). Корни многочлена второй степени ищутся легко уже описанным выше способом (по формуле корней) и равны: и Окончательно:

Ответ.  


Пример 2

Разложить на множители многочлен x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6.

Показать решение

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Следовательно, если целое число является корнем этого многочлена, оно является делителем свободного члена, то есть числа 6. Таким образом, если у данного многочлена существуют целые корни, то это могут быть числа ±1; ±2; ±3; ±6.

Проверкой убеждаемся, что числа +1 и −1 являются корнями многочлена, таким образом:
x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6 = ( x  + 1)( x  – 1) Q  ( x ) = ( x 2  – 1) Q  ( x ), где Q  ( x ) − многочлен второй степени. Делим исходный многочлен на x 2  – 1 уголком:

1

Итак: x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6 = ( x 2  – 1)( x 2  + 5 x  – 6). По схеме Горнера нужно было бы выполнять два деления: на +1 и на −1, хотя, безусловно, при определённом навыке деление осуществляется с одинаковыми затратами времени, и какой метод избрать при делении − дело вкуса. Поэтому можно пользоваться всегда каким-то одним, наиболее понравившимся методом.


 

Говорят, что многочлен P  ( x делится на двучлен ( x  –  a ), где a − задано, если P  ( x ) можно представить в виде
P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ) +  r где Q  ( x ) − многочлен степени на 1 меньше, чем P  ( x ), а r − некоторое число, которое называется остатком от деления многочлена P  ( x ) на ( x  –  a ) . Если r  = 0, то говорят, что многочлен P  ( x ) делится на x  –  a без остатка.

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена P  ( x ) на двучлен ( x a ) равен P ( a ), то есть
P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ) +  P  ( a ).

Следствие

Число a является корнем многочлена P  ( x ) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится на ( x  –  a ) без остатка:
P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ), где Q  ( x ) – многочлен степени, на 1 меньшей, чем P  ( x ).

Доказательство
 

Необходимость. Если x  =  a − корень многочлена P  ( x ), то по определению корня имеем P  ( a ) = 0. По определению остатка имеем P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ) +  r , что при x  =  a имеет вид P  ( a ) =  r , но P  ( a ) = 0, следовательно, r  = 0, а значит, P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ) +  r  =  Q  ( x )( x  –  a ), то есть справедливо нужное представление.

Достаточность. Пусть P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ), тогда непосредственной подстановкой убеждаемся, что P  ( a ) = 0, что значит, что x  =  a − корень многочлена P  ( x ). Теорема доказана.