Вход через социальные сети

  • 02.09.2017, 20:17
    0 up down
    Сообщение

    Маловероятно.

    Для чисел до 100000 проверил на компьютере. Других разностей меньше 42 не возникает.

    Если рассмотреть две функции y_1(x)=(x^2-41)^{1/3} и y_2(x)=x^{2/3}, то для того чтобы разность была не больше 41 должно найтись два простых числа p_1 и p_2, таких что y_1(p_1)\leq p_2<y_2(p_1).

    Оно конечно возможно, но дело в том что разность y_2(x)-y_1(x) довольно быстро стремится к нулю с ростом x.

    При x=9 она уже меньше 1, при x=41 меньше 0.1, при x=225 меньше 0.01, при x=10^5 она уже меньше 3\cdot10^{-6}.

    И вообще эта разность асимптотически убывает как (41/3)\cdot x^{-4/3}.

     

    Так что шансы найти пару среди больших чисел малы. Маловероятно, что в такой узкий коридор попадёт какое-то целое число, да ещё и простое.

  • 03.09.2017, 00:48
    0 up down
    Сообщение

    Вот проверил p до 2\cdot 10^9, так чтобы разница p^2-n^3 была не больше 41 (и больше 0). Здесь p - простое, n - любое целое больше 1.

    Возникают только эти варианты.

    3^2 - 2^3 = 1
    5^2 - 2^3 = 17
    7^2 - 3^3 = 22
    7^2 - 2^3 = 41
    19^2 - 7^3 = 18
    23^2 - 8^3 = 17
    37^2 - 11^3 = 38
    47^2 - 13^3 = 12
    83^2 - 19^3 = 30
    378661^2 - 5234^3 = 17

    При этом 8 и 5234 - не простые. Других вообще нет - ни простых, ни составных.

    Есть конечно ненулевая вероятность, что найдётся что-то больше 2\cdot 10^9, но вряд ли.

  • 03.09.2017, 01:58
    0 up down
    Сообщение

    Если оценить суммарную норму всех окон от 2\cdot 10^9, т.е. проинтегрировать (41/3)\cdot x^{-4/3} от 2\cdot 10^9 до бесконечности и помножить на плотность простых чисел в районе 2\cdot 10^9 (плотность \sim 1/\ln n), то будет около 0.0015.